Calcule a derivada das seguintes funções.
e^{x^{9}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=e^{x^9}
e pede sua derivada. Como temos uma exponencial cuja base é e e o expoente é uma função de x, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos as funções interna e externa da seguinte forma:
a) Função interna:
u(x)=x^9.
b) Função externa:
v(u)=e^u.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
a) Derivada da interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^9)=9x^8.
b) Derivada da externa em relação a u:
v'(u)=\frac{d}{du}(e^u)=e^u.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x) =e^{\,u(x)}\cdot 9x^8 =e^{x^9}\cdot 9x^8.

Resposta

f'(x)=9x^8\,e^{x^9}.

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