Calcule a derivada das seguintes funções (simplifique):
G(x)=(5 x^3-2)^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função $ G(x) = \left(5x^{3} - 2\right)^{3} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. A função $ G(x) $ é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Podemos pensar nela assim:
  • Função externa: $ u^{3} $, onde $ u = 5x^{3} - 2 $
  • Função interna: $ u = 5x^{3} - 2 $
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa em relação à função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa em relação a $ u $.
u

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função interna $ u = 5x^{3} - 2 $ em relação a $ x $.
u = 5x^3 - 2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que calculamos:
dGdx = ddu (u^3) times dudx = 3u^2 times 15x^2
Substituindo $ u $ de volta na expressão:
u

Passo 6

Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
3 times 15 = 45
Então, a derivada fica:
dGdx = 45x^2 (5x^3 - 2)^2

Resposta

A derivada da função $ G(x) = \left(5x^{3} - 2\right)^{3} $ é:
G(x) = (5x^3 - 2)^3

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