Calcule a derivada das seguintes funções (simplifique):
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função $ G(x) = \left(5x^{3} - 2\right)^{3} $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. A função $ G(x) $ é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Podemos pensar nela assim:
- Função externa: $ u^{3} $, onde $ u = 5x^{3} - 2 $
- Função interna: $ u = 5x^{3} - 2 $
A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa em relação à função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função externa em relação a $ u $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função interna $ u = 5x^{3} - 2 $ em relação a $ x $.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que calculamos:
Substituindo $ u $ de volta na expressão:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão multiplicando os coeficientes:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função $ G(x) = \left(5x^{3} - 2\right)^{3} $ é: