Calcule a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia.
(a) \left(2 x^{2}-4\right)^{3}
(b) \left(x^{2}+1\right)^{4}
(c) y=\left(x^{2}+3 x\right)^{5}
(d) y=\left(2 x^{3}-5 x^{2}+3 x-7\right)^{2}
(e) y=\operatorname{sen}(4 x)
(f) f(x)=e^{3 x}
(g) y=\sqrt{1+x^{2}}
(h) f(x)=3 \cdot \operatorname{sen}(2 x)
(i) h(x)=\left(2 x^{3}+4 x+1\right)^{5}
(j) y=\sqrt{9 x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas (usando a regra da cadeia) das seguintes funções:
(a) \left(2 x^{2}-4\right)^{3}
(b) \left(x^{2}+1\right)^{4}
(c) y=\left(x^{2}+3 x\right)^{5}
(d) y=\left(2 x^{3}-5 x^{2}+3 x-7\right)^{2}
(e) y=\operatorname{sen}(4 x) (seno de 4x)
(f) f(x)=e^{3 x}
(g) y=\sqrt{1+x^{2}}
(h) f(x)=3\cdot\operatorname{sen}(2 x)
(i) h(x)=\left(2 x^{3}+4 x+1\right)^{5}
(j) y=\sqrt{9 x^{2}+4}
Essas são todas as funções que precisamos derivar. A partir daqui vou explicar a técnica e calcular cada derivada passo a passo.

Passo 2

Pequena aula prática sobre a regra da cadeia e as regras que vou usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Regra da cadeia (forma geral). Se uma função é composição y=f(g(x)), então a derivada é dada por:
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento e g' é a derivada de g em relação a x. Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Regra do poder (caso particular útil). Se y=u(x)^n com n constante, então aplicando cadeia:
\frac{d}{dx}u(x)^n = n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Explicando: primeiro traz o expoente para frente (como na regra do poder), conserva a base elevada a n-1 e multiplica pela derivada da base u'(x).
  • Derivadas úteis básicas que usarei:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Pela cadeia, \frac{d}{dx}\sin(4x)=\cos(4x)\cdot 4 e \frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3.
  • Raiz quadrada como potência. A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2},
logo
\frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
  • Constante multiplicativa: se y=C\cdot g(x) com C constante, então y'=C\cdot g'(x).
Com isso claro, vou aplicar essas ideias em cada item, identificando a função externa e a interna, calculando suas derivadas e multiplicando conforme a regra da cadeia. Vou mostrar todos os passos algébricos para você poder reproduzir na prova sem calculadora.

Passo 3

(a) Derivar \left(2 x^{2}-4\right)^{3}.
  • Identificar: função externa f(u)=u^{3} e interna u(x)=2x^{2}-4.
  • Derivada da externa: f'(u)=3u^{2}.
  • Derivada da interna: u'(x)=4x (porque \frac{d}{dx}2x^2=4x e \frac{d}{dx}(-4)=0).
  • Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\left(2 x^{2}-4\right)^{3}=3\left(2 x^{2}-4\right)^{2}\cdot 4x.
  • Simplificando o fator numérico:
3\cdot 4x=12x,
logo
\frac{d}{dx}\left(2 x^{2}-4\right)^{3}=12x\left(2 x^{2}-4\right)^{2}.

Passo 4

(b) Derivar \left(x^{2}+1\right)^{4}.
  • Externa f(u)=u^{4}, f'(u)=4u^{3}. Interna u(x)=x^{2}+1, u'(x)=2x.
  • Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)^{4}=4\left(x^{2}+1\right)^{3}\cdot 2x.
  • Simplificando:
4\cdot 2x=8x,
portanto
\frac{d}{dx}\left(x^{2}+1\right)^{4}=8x\left(x^{2}+1\right)^{3}.

Passo 5

(c) Derivar y=\left(x^{2}+3 x\right)^{5}.
  • Externa f(u)=u^{5} com f'(u)=5u^{4}. Interna u(x)=x^{2}+3x, logo u'(x)=2x+3.
  • Aplicando a cadeia:
y' =5\left(x^{2}+3x\right)^{4}\cdot (2x+3).
  • Opcionalmente reescrever em ordem mais familiar:
y'=5(2x+3)\left(x^{2}+3x\right)^{4}.

Passo 6

(d) Derivar y=\left(2 x^{3}-5 x^{2}+3 x-7\right)^{2}.
  • Externa f(u)=u^{2}, f'(u)=2u. Interna u(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x-7.
  • Calcular u'(x):
u'(x)=6x^{2}-10x+3,
porque \frac{d}{dx}2x^{3}=6x^{2}, \frac{d}{dx}(-5x^{2})=-10x, \frac{d}{dx}3x=3, \frac{d}{dx}(-7)=0.
  • Aplicando a cadeia:
y'=2\left(2 x^{3}-5 x^{2}+3 x-7\right)\cdot\left(6x^{2}-10x+3\right).

Passo 7

(e) Derivar y=\operatorname{sen}(4 x) (seno de 4x).
  • Externa f(u)=\sin(u), f'(u)=\cos(u). Interna u(x)=4x, u'(x)=4.
  • Aplicando a cadeia:
y'=\cos(4x)\cdot 4.
  • Simplificando:
y'=4\cos(4x).

Passo 8

(f) Derivar f(x)=e^{3 x}.
  • Externa f(u)=e^{u}, f'(u)=e^{u}. Interna u(x)=3x, u'(x)=3.
  • Pela cadeia:
f'(x)=e^{3x}\cdot 3.
  • Escrevendo de forma usual:
f'(x)=3e^{3x}.

Passo 9

(g) Derivar y=\sqrt{1+x^{2}}.
  • Reescrever como potência: y=(1+x^{2})^{1/2}.
  • Externa f(u)=u^{1/2}, f'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Interna u(x)=1+x^{2}, u'(x)=2x.
  • Aplicando a cadeia:
y'=\tfrac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x.
  • Cancelando o 2:
y'=x(1+x^{2})^{-1/2}.
  • Voltando à forma com raiz:
y'=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 10

(h) Derivar f(x)=3\cdot\operatorname{sen}(2 x).
  • Usar linearidade: constante 3 sai da derivada. Derivar \sin(2x) pela cadeia.
  • Derivada de \sin(2x) é \cos(2x)\cdot 2.
  • Multiplicando pelo 3:
f'(x)=3\cdot\big(\cos(2x)\cdot 2\big)=6\cos(2x).

Passo 11

(i) Derivar h(x)=\left(2 x^{3}+4 x+1\right)^{5}.
  • Externa f(u)=u^{5}, f'(u)=5u^{4}. Interna u(x)=2x^{3}+4x+1.
  • Calcular u'(x)=6x^{2}+4 (porque \frac{d}{dx}2x^{3}=6x^{2} e \frac{d}{dx}4x=4).
  • Pela cadeia:
h'(x)=5\left(2 x^{3}+4 x+1\right)^{4}\cdot(6x^{2}+4).
  • Pode-se escrever:
h'(x)=5(6x^{2}+4)\left(2 x^{3}+4 x+1\right)^{4}.

Passo 12

(j) Derivar y=\sqrt{9 x^{2}+4}.
  • Reescrever: y=(9x^{2}+4)^{1/2}.
  • Externa f(u)=u^{1/2}, f'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Interna u(x)=9x^{2}+4, u'(x)=18x.
  • Aplicando a cadeia:
y'=\tfrac{1}{2}(9x^{2}+4)^{-1/2}\cdot 18x.
  • Simplificando o fator numérico: \tfrac{1}{2}\cdot 18x=9x.
  • Portanto:
y'=\frac{9x}{\sqrt{9x^{2}+4}}.

Resposta

(a) \displaystyle 12x\left(2 x^{2}-4\right)^{2}
(b) \displaystyle 8x\left(x^{2}+1\right)^{3}
(c) \displaystyle 5(2x+3)\left(x^{2}+3x\right)^{4}
(d) \displaystyle 2\left(2 x^{3}-5 x^{2}+3 x-7\right)\left(6x^{2}-10x+3\right)
(e) \displaystyle 4\cos(4x)
(f) \displaystyle 3e^{3x}
(g) \displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
(h) \displaystyle 6\cos(2x)
(i) \displaystyle 5(6x^{2}+4)\left(2 x^{3}+4 x+1\right)^{4}
(j) \displaystyle \frac{9x}{\sqrt{9x^{2}+4}}

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