Calcule a derivada das seguintes funções usando a regra da cadeia.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas (usando a regra da cadeia) das seguintes funções:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (seno de
)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Essas são todas as funções que precisamos derivar. A partir daqui vou explicar a técnica e calcular cada derivada passo a passo.
Passo 2
Pequena aula prática sobre a regra da cadeia e as regras que vou usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Regra da cadeia (forma geral). Se uma função é composição
, então a derivada é dada por:
Aqui
é a derivada de
em relação ao seu argumento e
é a derivada de
em relação a
. Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna.
- Regra do poder (caso particular útil). Se
com constante, então aplicando cadeia:
Explicando: primeiro traz o expoente para frente (como na regra do poder), conserva a base elevada a
e multiplica pela derivada da base
.
- Derivadas úteis básicas que usarei:
Pela cadeia,
e
.
- Raiz quadrada como potência. A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
logo
- Constante multiplicativa: se
com constante, então .
Com isso claro, vou aplicar essas ideias em cada item, identificando a função externa e a interna, calculando suas derivadas e multiplicando conforme a regra da cadeia. Vou mostrar todos os passos algébricos para você poder reproduzir na prova sem calculadora.
Passo 3
(a) Derivar
.
- Identificar: função externa
e interna . - Derivada da externa:
. - Derivada da interna:
(porque e ). - Aplicando a cadeia:
- Simplificando o fator numérico:
logo
Passo 4
(b) Derivar
.
- Externa
, . Interna , . - Aplicando a cadeia:
- Simplificando:
portanto
Passo 5
(c) Derivar
.
- Externa
com . Interna , logo . - Aplicando a cadeia:
- Opcionalmente reescrever em ordem mais familiar:
Passo 6
(d) Derivar
.
- Externa
, . Interna . - Calcular
:
porque
,
,
,
.
- Aplicando a cadeia:
Passo 7
(e) Derivar
(seno de
).
- Externa
, . Interna , . - Aplicando a cadeia:
- Simplificando:
Passo 8
(f) Derivar
.
- Externa
, . Interna , . - Pela cadeia:
- Escrevendo de forma usual:
Passo 9
(g) Derivar
.
- Reescrever como potência:
. - Externa
, . Interna , . - Aplicando a cadeia:
- Cancelando o
:
- Voltando à forma com raiz:
Passo 10
(h) Derivar
.
- Usar linearidade: constante
sai da derivada. Derivar pela cadeia. - Derivada de
é . - Multiplicando pelo
:
Passo 11
(i) Derivar
.
- Externa
, . Interna . - Calcular
(porque e ). - Pela cadeia:
- Pode-se escrever:
Passo 12
(j) Derivar
.
- Reescrever:
. - Externa
, . Interna , . - Aplicando a cadeia:
- Simplificando o fator numérico:
. - Portanto:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)