Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra do inverso multiplicativo ou da divisão:
x^4x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^4x^2-1
usando a regra do inverso multiplicativo (ou seja, escrevendo o denominador na forma (x^2-1)^-1) e a regra do produto.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=x^4,(x^2-1)^-1
Aqui temos um produto de duas funções:
u(x)=x^4, v(x)=(x^2-1)^-1

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=4x^3, v'(x)=-1,(x^2-1)^-2cdotddx(x^2-1) =-1,(x^2-1)^-2cdot2x =-2x,(x^2-1)^-2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =4x^3,(x^2-1)^-1 + x^4,l(-2x,(x^2-1)^-2r)

Passo 5

Colocamos sobre um denominador comum (x^2-1)^2 e simplificamos:
f'(x) =4x^3(x^2-1)-2x^5(x^2-1)^2 =4x^5-4x^3-2x^5(x^2-1)^2 =2x^5-4x^3(x^2-1)^2 =2x^3(x^2-2)(x^2-1)^2

Resposta

f'(x)=2x^3(x^2-2)(x^2-1)^2

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