Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x in Df sendo g dada por
g(x)=x^2, x <= 0

Passo 1

O enunciado pede uma função f tal que
gl(f(x)r)=x
para todo x em Df, sabendo que
gcolon (-infty,0]toR, g(x)=x^2
O conteúdo envolvido é de composição de funções e inversão parcial de funções não injetoras. Vamos precisar identificar a imagem de g, escolher adequadamente o domínio de f e, em seguida, determinar a expressão de f.

Passo 2

Primeiro, encontramos a imagem de g. Como g(x)=x^2 e x<=0, todo valor de g é não-negativo. Logo
Im(g) = [0,infty)

Passo 3

Para que a composição g(f(x)) faça sentido, precisamos que, para todo xin Df, f(x) pertença ao domínio de g, isto é,
f(x)<=0,
e ao mesmo tempo x deve pertencer à imagem de g. Portanto, a escolha natural é
Df = [0,infty)

Passo 4

Da condição
gl(f(x)r)=x Longrightarrow l(f(x)r)^2=x
As soluções para f(x) são +raizx ou -raizx. Mas como devemos ter f(x)<=0, escolhemos
f(x)=-raizx

Passo 5

Verificação rápida: para todo xin[0,infty),
gl(f(x)r) = gl(-raizxr) = l(-raizxr)^2 = x,
e f(x)=-raizx<=0 garante que f(x) está no domínio de g.

Resposta

Df=[0,infty), f(x)=-raizx

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