Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
f(x)=3 x^{5}-4 x^{2}+10

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=3 x^{5}-4 x^{2}+10.
Informações relevantes dadas:
  • A função é um polinômio com três termos: 3 x^{5}, -4 x^{2} e 10.
  • A tarefa é obter f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

O que significa “derivar” aqui (definição): a derivada de uma função f num ponto x mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Formalmente, usa-se o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x. Neste problema não vamos calcular esse limite diretamente para cada termo; em vez disso usaremos regras operacionais que seguem dessa definição (são válidas para polinômios).

Passo 3

Regras operacionais que vamos usar (explicadas):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x), então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Aqui u e v são funções qualquer de x.
  • Regra da constante multiplicativa: a constante pode sair da derivada. Se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então
g'(x)=c\cdot u'(x).
Aqui c é número fixo e u depende de x.
  • Derivada de constante: se c é número fixo, então
\frac{d}{dx}c=0.
Isso porque constantes não mudam quando x varia.
Vou aplicar essas regras termo a termo no polinômio.

Passo 4

Regra do poder (power rule): para um expoente inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Explicação das variáveis: x é a variável independente; n é um número inteiro positivo que indica o expoente. Essa regra é consequência da definição por limite (pode ser demonstrada expandindo (x+h)^n pela fórmula do binômio, cancelando x^n e dividindo por h antes de fazer h\to0). Usaremos essa regra para n=5 e n=2.

Passo 5

Derivada do primeiro termo 3 x^{5}: use a regra da constante multiplicativa e a regra do poder. Primeiro compute a derivada de x^{5}:
\frac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}.
Agora multiplica pelo coeficiente 3:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{5}\bigr)=3\cdot 5x^{4}=15x^{4}.

Passo 6

Derivada do segundo termo -4 x^{2}: novamente, derivada de x^{2} pela regra do poder é 2x. Aplicando o coeficiente -4,
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{2}\bigr)=-4\cdot 2x=-8x.

Passo 7

Derivada do terceiro termo 10 (constante): pela regra da derivada de constante,
\frac{d}{dx}10=0.

Passo 8

Somando as derivadas dos três termos (regra da soma):
f'(x)=15x^{4}-8x+0.
Simplificando (eliminando o zero):
f'(x)=15x^{4}-8x.
Opcionalmente pode-se fatorar x:
f'(x)=x\bigl(15x^{3}-8\bigr).

Resposta

f'(x)=15x^{4}-8x

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