Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é um polinômio com três termos:
, e . - A tarefa é obter
, a derivada em relação a .
Passo 2
O que significa “derivar” aqui (definição): a derivada de uma função
num ponto
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Formalmente, usa-se o limite
onde
é um incremento pequeno em
. Neste problema não vamos calcular esse limite diretamente para cada termo; em vez disso usaremos regras operacionais que seguem dessa definição (são válidas para polinômios).
Passo 3
Regras operacionais que vamos usar (explicadas):
- Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então
Aqui
e
são funções qualquer de
.
- Regra da constante multiplicativa: a constante pode sair da derivada. Se
com constante, então
Aqui
é número fixo e
depende de
.
- Derivada de constante: se
é número fixo, então
Isso porque constantes não mudam quando
varia.
Vou aplicar essas regras termo a termo no polinômio.
Passo 4
Regra do poder (power rule): para um expoente inteiro positivo
,
Explicação das variáveis:
é a variável independente;
é um número inteiro positivo que indica o expoente. Essa regra é consequência da definição por limite (pode ser demonstrada expandindo
pela fórmula do binômio, cancelando
e dividindo por
antes de fazer
). Usaremos essa regra para
e
.
Passo 5
Derivada do primeiro termo
: use a regra da constante multiplicativa e a regra do poder. Primeiro compute a derivada de
:
Agora multiplica pelo coeficiente
:
Passo 6
Derivada do segundo termo
: novamente, derivada de
pela regra do poder é
. Aplicando o coeficiente
,
Passo 7
Derivada do terceiro termo
(constante): pela regra da derivada de constante,
Passo 8
Somando as derivadas dos três termos (regra da soma):
Simplificando (eliminando o zero):
Opcionalmente pode-se fatorar
: