Calcule a derivada de segunda ordem de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem de
onde foi dada a função
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função trigonométrica com uma função linear interna. A pergunta explícita é: encontrar
(a segunda derivada de
em relação a
).
Passo 2
Vamos recordar as regras que vamos usar (explicadas devagarinho).
Aqui
é a função interna (qualquer função de
) e
é a sua derivada. Essa fórmula é a aplicação da chamada regra da cadeia: quando você tem uma função composta
, deriva primeiro a função externa (
) mantendo
fixo, e depois multiplica pela derivada da função interna
.
Também vamos precisar da derivada de
:
Explicando: a derivada de
é
e, por ser composta com
, multiplicamos por
.
Passo 3
Identificamos a função interna e calculamos a sua derivada:
Isto é simples: a derivada de uma função linear
em relação a
é o coeficiente
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter a primeira derivada
.
Organizando:
Comentário rápido: o
apareceu por causa de
, a derivada da parte interna
.
Passo 5
Um exemplo curto para fixar: se tivéssemos
, então pela mesma ideia
. É a mesma estrutura, só muda o coeficiente da interna.
Passo 6
Agora derivamos
para obter
. Temos
Aplicando a derivada (produto de constante por função) e a regra da cadeia para
:
Multiplicando os fatores: