Calcule a derivada de segunda ordem de f(x).
f(x)=\operatorname{sen}(5 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem de f(x) onde foi dada a função
f(x)=\operatorname{sen}(5x).
Informações relevantes: a função é uma composição de uma função trigonométrica com uma função linear interna. A pergunta explícita é: encontrar f''(x) (a segunda derivada de f em relação a x).

Passo 2

Vamos recordar as regras que vamos usar (explicadas devagarinho).
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\operatorname{cos}(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna (qualquer função de x) e u'(x) é a sua derivada. Essa fórmula é a aplicação da chamada regra da cadeia: quando você tem uma função composta \operatorname{sen}(u(x)), deriva primeiro a função externa ( \operatorname{sen}) mantendo u fixo, e depois multiplica pela derivada da função interna u'(x).
Também vamos precisar da derivada de \operatorname{cos}:
\frac{d}{dx}\operatorname{cos}(u(x))=-\operatorname{sen}(u(x))\cdot u'(x).
Explicando: a derivada de \operatorname{cos} é -\operatorname{sen} e, por ser composta com u(x), multiplicamos por u'(x).

Passo 3

Identificamos a função interna e calculamos a sua derivada:
u(x)=5x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=5.
Isto é simples: a derivada de uma função linear ax em relação a x é o coeficiente a.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter a primeira derivada f'(x).
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(5x)=\operatorname{cos}(5x)\cdot 5.
Organizando:
f'(x)=5\operatorname{cos}(5x).
Comentário rápido: o 5 apareceu por causa de u'(x), a derivada da parte interna 5x.

Passo 5

Um exemplo curto para fixar: se tivéssemos g(x)=\operatorname{sen}(2x), então pela mesma ideia g'(x)=2\operatorname{cos}(2x). É a mesma estrutura, só muda o coeficiente da interna.

Passo 6

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Temos
f'(x)=5\operatorname{cos}(5x).
Aplicando a derivada (produto de constante por função) e a regra da cadeia para \operatorname{cos}(5x):
f''(x)=5\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{cos}(5x) =5\cdot\big(-\operatorname{sen}(5x)\cdot 5\big).
Multiplicando os fatores:
f''(x)=-25\operatorname{sen}(5x).

Resposta

-25\operatorname{sen}(5x)

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