Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado dá uma única função e pede para derivá‑la. A função fornecida é
Informações relevantes que o enunciado fornece e que precisamos observar:
- Dentro da raiz externa aparece
, então para que isso faça sentido real precisamos de . Portanto o domínio natural da expressão é . - A parte
é sempre positiva para todo , então o argumento da raiz externa, , é estritamente positivo para todo . Logo a raiz externa nunca anula o denominador exceto possivelmente por problemas com em . - O que é pedido: encontrar
, a derivada de em pontos do domínio (em particular vamos ver que a fórmula tem uma limitação em ).
Passo 2
Estratégia de diferenciação (explicação didática do que vamos usar):
Quando temos uma composição de funções, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se , então
Quando temos uma composição de funções, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se
No nosso caso, podemos ver
como uma composição com duas camadas:
- Função externa
. - Função interna
.
Então
Vou calcular
e
separadamente e depois juntar.
Passo 3
Derivada da função externa
:
Usando a regra de potência, se então
. Com
obtemos
Usando a regra de potência, se
Portanto, ao avaliar em
,
Passo 4
Agora vamos calcular
para
.
A derivada de é simples:
A derivada de
Para
usamos novamente a regra da cadeia: se
e
, então
.
A derivada de (novamente regra de potência com
) é
A derivada de
Logo
Somando as duas partes obtemos
Passo 5
Agora juntamos usando a regra da cadeia:
Essa é uma expressão correta, mas podemos simplificá‑la algébrica e limpamente para ficar mais apresentável.
Passo 6
Simplificação algébrica passo a passo:
Primeiro colocamos o somatório no parêntese sobre um denominador comum :
Primeiro colocamos o somatório no parêntese sobre um denominador comum
portanto
Substituindo na expressão de
temos
Multiplicando os fatores obtemos
Passo 7
Observações sobre domínio e o ponto
:
- A derivada que obtivemos contém
no denominador, portanto a fórmula final só é válida para . - Em
a função está definida ( ), mas a derivada lateral direita tende para . Uma maneira informal de ver isso é usar a expansão para pequeno: , então , cuja derivada behave como quando , que diverge. Portanto não existe (há uma tangente vertical à direita). Concluímos que a derivada existe e é dada pela fórmula só para .