Derive cada função abaixo.
f(x)=\sqrt{x^{2}+e^{(\sqrt{x})}}

Passo 1

O enunciado dá uma única função e pede para derivá‑la. A função fornecida é
f(x)=\sqrt{x^{2}+e^{(\sqrt{x})}}.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que precisamos observar:
  • Dentro da raiz externa aparece \sqrt{x}, então para que isso faça sentido real precisamos de x\ge 0. Portanto o domínio natural da expressão é [0,\infty).
  • A parte e^{(\sqrt{x})} é sempre positiva para todo x, então o argumento da raiz externa, x^{2}+e^{(\sqrt{x})}, é estritamente positivo para todo x\ge0. Logo a raiz externa nunca anula o denominador exceto possivelmente por problemas com \sqrt{x} em x=0.
  • O que é pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em pontos do domínio (em particular vamos ver que a fórmula tem uma limitação em x=0).

Passo 2

Estratégia de diferenciação (explicação didática do que vamos usar):
Quando temos uma composição de funções, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se h(x)=F(G(x)), então
h'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x).
No nosso caso, podemos ver f como uma composição com duas camadas:
  • Função externa F(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
  • Função interna u(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}}.
    Então
f'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x).
Vou calcular F'(u) e u'(x) separadamente e depois juntar.

Passo 3

Derivada da função externa F(u)=u^{1/2}:
Usando a regra de potência, se F(u)=u^{n} então F'(u)=n u^{n-1}. Com n=\tfrac12 obtemos
F'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Portanto, ao avaliar em u(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}},
F'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}.

Passo 4

Agora vamos calcular u'(x) para u(x)=x^{2}+e^{\sqrt{x}}.
A derivada de x^{2} é simples:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Para \frac{d}{dx}e^{\sqrt{x}} usamos novamente a regra da cadeia: se v(x)=\sqrt{x} e w(v)=e^{v}, então \frac{d}{dx}e^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}\sqrt{x}.
A derivada de \sqrt{x} (novamente regra de potência com n=\tfrac12) é
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad (x>0).
Logo
\frac{d}{dx}e^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\qquad (x>0).
Somando as duas partes obtemos
u'(x)=2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\qquad (x>0).

Passo 5

Agora juntamos usando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\cdot\left(2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\right)\qquad (x>0).
Essa é uma expressão correta, mas podemos simplificá‑la algébrica e limpamente para ficar mais apresentável.

Passo 6

Simplificação algébrica passo a passo:
Primeiro colocamos o somatório no parêntese sobre um denominador comum 2\sqrt{x}:
2x=\frac{4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}},
portanto
2x+\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
Substituindo na expressão de f'(x) temos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\cdot\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando os fatores obtemos
f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\qquad (x>0).

Passo 7

Observações sobre domínio e o ponto x=0:
  • A derivada que obtivemos contém \sqrt{x} no denominador, portanto a fórmula final só é válida para x>0.
  • Em x=0 a função f está definida ( f(0)=\sqrt{0+e^{0}}=1), mas a derivada lateral direita tende para +\infty. Uma maneira informal de ver isso é usar a expansão para x pequeno: e^{\sqrt{x}}=1+\sqrt{x}+O(x), então f(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}+O(x)}\approx 1+\tfrac12\sqrt{x}+O(x), cuja derivada behave como \tfrac{1}{4}x^{-1/2} quando x\to0^+, que diverge. Portanto f'(0) não existe (há uma tangente vertical à direita). Concluímos que a derivada existe e é dada pela fórmula só para x>0.

Resposta

f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}+e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}}\qquad (x>0).

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