Calcule a derivada de segunda ordem da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de segunda ordem (ou seja,
):
Observação: a notação
no enunciado corresponde ao seno; vou escrever como
nas contas porque é a notação padrão em TeX.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicações bem práticas):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some a primeira vezes a derivada da segunda.
- Derivadas básicas importantes aqui:
Explicação curta: a exponencial
é especial porque sua derivada é ela mesma; seno vira cosseno; cosseno vira negativo do seno.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
aplicando a regra do produto a
e
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Substituindo as derivadas básicas:
Passo 4
Fatorando
para simplificar (isso facilita a segunda derivada):
Comentário: fatorar é só pegar o fator comum
em ambos os termos e colocá-lo em evidência.
Passo 5
Agora calculamos a segunda derivada
. Temos
, que é novamente um produto entre
e
. Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e derivando
:
Logo,
Passo 6
Simplificamos somando os termos semelhantes dentro dos parênteses:
Portanto
Podemos escrever de forma final como