Calcule a derivada de segunda ordem da função f dada por:
f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada de segunda ordem (ou seja, f''(x)):
f(x)=e^{x}\operatorname{sen}(x).
Observação: a notação \operatorname{sen}(x) no enunciado corresponde ao seno; vou escrever como \sin(x) nas contas porque é a notação padrão em TeX.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicações bem práticas):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\big(u(x)\,v(x)\big)'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some a primeira vezes a derivada da segunda.
  • Derivadas básicas importantes aqui:
\big(e^{x}\big)'=e^{x}, \qquad \big(\sin(x)\big)'=\cos(x), \qquad \big(\cos(x)\big)'=-\sin(x).
Explicação curta: a exponencial e^{x} é especial porque sua derivada é ela mesma; seno vira cosseno; cosseno vira negativo do seno.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) aplicando a regra do produto a u(x)=e^{x} e v(x)=\sin(x).
Usando a fórmula:
f'(x)=\big(e^{x}\big)'\sin(x)+e^{x}\big(\sin(x)\big)'.
Substituindo as derivadas básicas:
f'(x)=e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x).

Passo 4

Fatorando e^{x} para simplificar (isso facilita a segunda derivada):
f'(x)=e^{x}\big(\sin(x)+\cos(x)\big).
Comentário: fatorar é só pegar o fator comum e^{x} em ambos os termos e colocá-lo em evidência.

Passo 5

Agora calculamos a segunda derivada f''(x). Temos f'(x)=e^{x}\big(\sin(x)+\cos(x)\big), que é novamente um produto entre e^{x} e g(x)=\sin(x)+\cos(x). Aplicando a regra do produto:
f''(x)=\big(e^{x}\big)'\big(\sin(x)+\cos(x)\big)+e^{x}\big(\sin(x)+\cos(x)\big)'.
Substituindo \big(e^{x}\big)'=e^{x} e derivando g(x):
\big(\sin(x)+\cos(x)\big)'=\cos(x)-\sin(x).
Logo,
f''(x)=e^{x}\big(\sin(x)+\cos(x)\big)+e^{x}\big(\cos(x)-\sin(x)\big).

Passo 6

Simplificamos somando os termos semelhantes dentro dos parênteses:
\big(\sin(x)+\cos(x)\big)+\big(\cos(x)-\sin(x)\big)=2\cos(x).
Portanto
f''(x)=e^{x}\cdot 2\cos(x).
Podemos escrever de forma final como
f''(x)=2e^{x}\cos(x).

Resposta

\,f''(x)=2e^{x}\cos(x)

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