Calcule a derivada segunda
r) y=(3+cos x)^x

Passo 1

A questão pede a segunda derivada de y=(3+cos x)^x. O conteúdo principal aqui é diferenciação de função com expoente variável usando logaritmo (diferenciação logarítmica) e depois aplicar produto e cadeia para chegar em y''.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = xln(3+cos x)
Derivando para obter y' usamos que y'=yddx(ln y):
y'=(3+cos x)^xl[ln(3+cos x)+xcdotddxln(3+cos x)r]
Como ddxln(3+cos x)=-sin x3+cos x,
y'=(3+cos x)^xl[ln(3+cos x)-xsin x3+cos xr]

Passo 3

Para y'', note que y' = y,(A+B) com
A=ln(3+cos x), B=-xsin x3+cos x
Então
y''=y',(A+B)+y,(A'+B')=yl[(A+B)^2 + A'+B'r]

Passo 4

Calculamos agora A' e B':
A'=-sin x3+cos x,
para
B=-xsin x,(3+cos x)^-1,
B'=-sin x + xcos x3+cos x - xsin^2 x(3+cos x)^2
Somando,
A'+B'=-2sin x + xcos x3+cos x - xsin^2 x(3+cos x)^2

Passo 5

Substituindo tudo em y''=y[(A+B)^2 + A'+B'] e lembrando que y=(3+cos x)^x, obtemos a forma final bem compacta:
y''=(3+cos x)^xgl[l(ln(3+cos x)-xsin x3+cos xr)^2 -2sin x + xcos x3+cos x - xsin^2 x(3+cos x)^2gr]

Resposta

y''=(3+cos x)^xgl[l(ln(3+cos x)-xsin x3+cos xr)^2 -2sin x + xcos x3+cos x - xsin^2 x(3+cos x)^2gr]

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