Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral-4^-3 d x(x^2-4)^32

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-4^-3dxl(x^2-4r)^3/2
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a substituição para expressões do tipo x^2-a^2, e vamos precisar escolher uma relação trigonométrica que transforme x^2-4 em algo como tan^2theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = -2sectheta,
de modo que
dx = -2secthetatantheta,dtheta,
e
x^2-4 = 4sec^2theta - 4 = 4tan^2theta Longrightarrow l(x^2-4r)^3/2 = l(4tan^2thetar)^3/2 = 8,tan^3theta

Passo 3

Precisamos também mudar os limites. Quando ,
Quando ,
Logo, vai de até .

Passo 4

Substituindo na integral,
integral-4^-3dx(x^2-4)^3/2 =integralpi/3^arccos(2/3) -2secthetatantheta8tan^3theta,dtheta =-tfrac14integralpi/3^arccos(2/3)secthetatan^2theta,dtheta
Como
secthetatan^2theta =1/costhetasin^2theta/cos^2theta =costhetasin^2theta =cotthetacsctheta,
temos
integralcotthetacsctheta,dtheta =-csctheta + C
pois tfracddtheta(csctheta)=-cscthetacottheta. Assim a integral vira
-tfrac14integralcotthetacsctheta,dtheta =tfrac14,csctheta|pi/3^arccos(2/3)

Passo 5

Agora avaliamos em theta=pi/3 e theta=arccos(2/3). Primeiro,
cscl(pi/3r)=1sin(pi/3)=1raiz3/2=2raiz3
Em theta=arccos(2/3) vale
sinl(arccos(2/3)r)=raiz1-(2/3)^2=raiz53, cscl(arccos(2/3)r)=3raiz5
Logo
tfrac14l[csc(arccos(2/3))-csc(pi/3)r] =tfrac14l(tfrac3raiz5-tfrac2raiz3r) =9raiz5-10raiz360

Resposta

integral-4^-3dxl(x^2-4r)^3/2 =9raiz5-10raiz360

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