Encontre o limite
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador é o polinômio
(grau ).
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende para ?
Passo 2
Ideia e regra prática (explicação didática): para funções racionais (quociente de polinômios), o comportamento quando
é dominado pelos termos de maior grau. Regra rápida:
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é
. - Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador é maior, o limite diverge para
(ou não existe) dependendo dos sinais.
Vou justificar a regra aplicando um procedimento algébrico: dividir numerador e denominador pela maior potência depresente no denominador.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
(a maior potência presente):
Passo 4
Análise dos termos que aparecem após a divisão: quando
vale
Explicação curta: para
com módulo muito grande,
tem módulo muito pequeno; quanto maior
, mais próximo de zero ficam essas frações. O sinal (positivo/negativo) não impede que o valor tenda a
.
Passo 5
Aplicando os limites aos termos da expressão obtida:
Portanto o limite é
. Comentário intuitivo: o denominador cresce em magnitude como
enquanto o numerador cresce como
, então o denominador domina e a razão tende a zero.
Passo 6
Exemplo adicional rápido (para fixar):
, pois o grau do denominador (
) é maior que o do numerador (
). Mesmo raciocínio que usamos acima.
Resposta
0