Encontre o limite
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}+2 (grau 2).
  • O denominador é o polinômio x^{3}+x^{2}-1 (grau 3).
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende para -\infty?

Passo 2

Ideia e regra prática (explicação didática): para funções racionais (quociente de polinômios), o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau. Regra rápida:
  • Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é 0.
  • Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador é maior, o limite diverge para \pm\infty (ou não existe) dependendo dos sinais.
    Vou justificar a regra aplicando um procedimento algébrico: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3} (a maior potência presente):
\frac{x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}-1} = \frac{\dfrac{x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Análise dos termos que aparecem após a divisão: quando x\to -\infty vale
\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{2}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0.
Explicação curta: para x com módulo muito grande, 1/x tem módulo muito pequeno; quanto maior |x|, mais próximo de zero ficam essas frações. O sinal (positivo/negativo) não impede que o valor tenda a 0.

Passo 5

Aplicando os limites aos termos da expressão obtida:
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{0+0}{1+0-0}=\frac{0}{1}=0.
Portanto o limite é 0. Comentário intuitivo: o denominador cresce em magnitude como x^{3} enquanto o numerador cresce como x^{2}, então o denominador domina e a razão tende a zero.

Passo 6

Exemplo adicional rápido (para fixar): \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{2}+1}{x^{5}-3}=0, pois o grau do denominador ( 5) é maior que o do numerador ( 2). Mesmo raciocínio que usamos acima.

Resposta

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