Calcule a derivada usando a definição f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}. Calcule a derivada da função f(x)=3 x^{2}-2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3x^{2}-2x+1 usando a definição
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
O que precisamos é montar a diferença f(x+\Delta x)-f(x), dividir por \Delta x e depois calcular o limite quando \Delta x\to0.

Passo 2

Calcular f(x+\Delta x). Basta substituir x por x+\Delta x em f:
f(x+\Delta x)=3\,(x+\Delta x)^{2}-2\,(x+\Delta x)+1.
Agora expandimos:
(x+\Delta x)^{2}=x^{2}+2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2},
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f(x+\Delta x)=3\bigl(x^{2}+2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2}\bigr)-2x-2\,\Delta x+1.

Passo 3

Simplificar f(x+\Delta x) e subtrair f(x):
f(x+\Delta x)=3x^{2}+6x\,\Delta x+3(\Delta x)^{2}-2x-2\,\Delta x+1.
Como f(x)=3x^{2}-2x+1, temos
f(x+\Delta x)-f(x) =(3x^{2}+6x\,\Delta x+3(\Delta x)^{2}-2x-2\,\Delta x+1) -(3x^{2}-2x+1).
Cancelam 3x^{2}, -2x e +1, restando
f(x+\Delta x)-f(x)=6x\,\Delta x+3(\Delta x)^{2}-2\,\Delta x.

Passo 4

Formar o quociente de diferença e simplificar fatorando \Delta x:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{6x\,\Delta x+3(\Delta x)^{2}-2\,\Delta x}{\Delta x} =6x+3\,\Delta x-2.

Passo 5

Calcular o limite quando \Delta x\to0:
f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\bigl(6x+3\,\Delta x-2\bigr) =6x-2.

Resposta

A derivada de f(x)=3x^{2}-2x+1 é
f^{\prime}(x)=6x-2.

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