Calcule a derivada usando a definição f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}. Calcule a derivada da função f(x)=8-x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=8 - x^3 usando a definição
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.
Para isso, vamos usar o binômio de Newton para expandir (x+\Delta x)^3 e depois simplificar o quociente.

Passo 2

Calculamos f(x+\Delta x) substituindo x por x+\Delta x:
f(x+\Delta x) = 8 - (x+\Delta x)^3 = 8 - \bigl(x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3\bigr).

Passo 3

Formamos a diferença f(x+\Delta x)-f(x) e cancelamos termos iguais:
f(x+\Delta x)-f(x) = \bigl[8 - x^3 - 3x^2\Delta x - 3x(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3\bigr] - (8 - x^3) = -3x^2\Delta x - 3x(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3.

Passo 4

Dividimos essa diferença por \Delta x e simplificamos:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{-3x^2\Delta x - 3x(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3}{\Delta x} = -3x^2 \;-\; 3x\,\Delta x \;-\; (\Delta x)^2.

Passo 5

Tomamos o limite quando \Delta x tende a zero para eliminar os resíduos em \Delta x:
\lim_{\Delta x\to 0}\bigl(-3x^2 - 3x\,\Delta x - (\Delta x)^2\bigr) = -3x^2.

Resposta

A derivada de f(x)=8 - x^3 é
f'(x) = -3x^2.

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