Exercício 3. Com a ajuda das tabelas de verdade, mostrar que :
\mathrm{p} \wedge(\mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \Leftrightarrow \mathrm{p}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula
p \wedge (p \vee q) \Leftrightarrow p
é uma equivalência lógica válida. O conteúdo aqui é lógica proposicional, usando os conectivos “ou” \vee, “e” \wedge e bicondicional \Leftrightarrow. Vamos usar o método da tabela de verdade para comprovar que, em todas as combinações de valores de verdade de p e q, p \wedge (p \vee q) tem exatamente o mesmo valor de verdade que p, o que faz com que a bicondicional seja sempre verdadeira.

Passo 2

Relembrando as definições dos conectivos:
  1. \,p \vee q é verdadeiro sempre que pelo menos um de p ou q for verdadeiro.
  2. \,p \wedge q é verdadeiro somente se p e q forem verdadeiros simultaneamente.
  3. \,A \Leftrightarrow B é verdadeiro se e somente se A e B tiverem o mesmo valor de verdade.

Passo 3

Agora montamos a tabela de verdade com as colunas necessárias:
\begin{array}{c c \,\big|\, c \,\big|\, c \,\big|\, c} p & q & p \vee q & p \wedge (p \vee q) & \bigl(p \wedge (p \vee q)\bigr) \Leftrightarrow p\\hline V & V & V & V & V\\\ V & F & V & V & V\\\ F & V & V & F & V\\\ F & F & F & F & V \end{array}

Passo 4

Analisando a tabela vemos que a coluna de \,p \wedge (p \vee q) coincide sempre com a coluna de p. Consequentemente, a coluna do bicondicional \bigl(p \wedge (p \vee q)\bigr) \Leftrightarrow p é sempre verdadeira V.

Resposta

A tabela de verdade mostra que em todas as combinações de valores de p e q a bicondicional
p \wedge (p \vee q) \Leftrightarrow p
é verdadeira. Logo, está demonstrado que
p \wedge (p \vee q)\equiv p.

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