Calcule a derivada usando a definição f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}. Calcule a derivada da função f(x)=3 x^{2}+4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=3x^{2}+4 usando a definição
f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
O conteúdo aqui é a definição de derivada por limite de diferença.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(x+\Delta x) e a diferença f(x+\Delta x)-f(x).
f(x+\Delta x)=3(x+\Delta x)^{2}+4 =3\bigl(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}\bigr)+4 =3x^{2}+6x\Delta x+3(\Delta x)^{2}+4.
Logo,
f(x+\Delta x)-f(x) =\bigl(3x^{2}+6x\Delta x+3(\Delta x)^{2}+4\bigr)-\bigl(3x^{2}+4\bigr) =6x\Delta x+3(\Delta x)^{2}.

Passo 3

Dividimos essa diferença por \Delta x para montar o quociente de diferença:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{6x\Delta x+3(\Delta x)^{2}}{\Delta x} =6x+3\Delta x.

Passo 4

Por fim, tomamos o limite quando \Delta x\to0:
f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\bigl(6x+3\Delta x\bigr)=6x.

Resposta

f'(x)=6x

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