Calcule a derivada usando a definição f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}. Calcule a derivada da função f(x)=\frac{1}{x^{2}}-x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\frac{1}{x^{2}}-x usando a definição
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
Vamos aplicar essa definição diretamente.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(x+\Delta x):
f(x+\Delta x)=\frac{1}{(x+\Delta x)^{2}}-(x+\Delta x).

Passo 3

Em seguida, montamos o quociente de diferenças:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\displaystyle \frac{1}{(x+\Delta x)^{2}}-(x+\Delta x) -\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-x\Bigr)}{\Delta x}.

Passo 4

No numerador, separamos em parte racional e parte linear:
\frac{1}{(x+\Delta x)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \;-\;(x+\Delta x - x) = \underbrace{\frac{1}{(x+\Delta x)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}_{\text{A}} \;-\;\Delta x.
Logo
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\frac{\text{A}}{\Delta x}-\frac{\Delta x}{\Delta x} =\frac{\text{A}}{\Delta x}-1.

Passo 5

Agora simplificamos A:
\frac{1}{(x+\Delta x)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} =\frac{x^{2}-(x+\Delta x)^{2}}{x^{2}(x+\Delta x)^{2}} =\frac{-2x\,\Delta x-(\Delta x)^{2}}{x^{2}(x+\Delta x)^{2}} =-\frac{\Delta x\,(2x+\Delta x)}{x^{2}(x+\Delta x)^{2}}.
Dividindo por \Delta x:
\frac{\text{A}}{\Delta x} =-\frac{2x+\Delta x}{x^{2}(x+\Delta x)^{2}}.
Portanto o quociente fica
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =-\frac{2x+\Delta x}{x^{2}(x+\Delta x)^{2}}-1.

Passo 6

Fazendo o limite \Delta x\to 0:
\lim_{\Delta x\to0}\Bigl(-\frac{2x+\Delta x}{x^{2}(x+\Delta x)^{2}}-1\Bigr) =-\frac{2x}{x^{2}\,x^{2}}-1 =-\frac{2x}{x^{4}}-1 =-\frac{2}{x^{3}}-1.

Resposta

A derivada é
f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}-1.

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