Exercício 3. Com a ajuda das tabelas de verdade, mostrar que :
\mathrm{p} \Leftrightarrow((\mathrm{q} \Rightarrow \mathrm{p}) \wedge(\neg \mathrm{q} \Rightarrow \mathrm{p})).

Passo 1

O enunciado pede para provar que
p \Leftrightarrow\bigl((q \Rightarrow p)\wedge(\neg q \Rightarrow p)\bigr)
usando tabelas de verdade. Vamos precisar das definições:
  1. (\alpha\Rightarrow\beta) é falsa somente se \alpha é verdadeira e \beta é falsa; caso contrário é verdadeira.
  2. (\alpha\Leftrightarrow\beta) é verdadeira se \alpha e \beta têm o mesmo valor de verdade, e falsa caso contrário.

Passo 2

Relembremos as fórmulas que vamos calcular em cada linha da tabela:
q\Rightarrow p \equiv \neg q \lor p, \quad \neg q, \quad \neg q\Rightarrow p \equiv q \lor p, \quad (q\Rightarrow p)\wedge(\neg q\Rightarrow p), \quad p\Leftrightarrow\bigl((q\Rightarrow p)\wedge(\neg q\Rightarrow p)\bigr).

Passo 3

Montamos a tabela de verdade para todas as combinações de (p,q):
 p q | q⇒p | ¬q | ¬q⇒p | (q⇒p)∧(¬q⇒p) | p↔((q⇒p)∧(¬q⇒p))
---------------------------------------------------------
 V V | V | F | V | V | V
 V F | V | V | V | V | V
 F V | F | F | V | F | V
 F F | V | V | F | F | V

Passo 4

Observamos que, em todas as linhas, a coluna de
p\Leftrightarrow\bigl((q\Rightarrow p)\wedge(\neg q\Rightarrow p)\bigr)
é sempre verdadeira. Logo, a proposição inteira é uma tautologia, o que mostra que
p \text{ é logicamente equivalente a } (q\Rightarrow p)\wedge(\neg q\Rightarrow p).é

Resposta

A tabela de verdade demonstra que
p \Leftrightarrow\bigl((q \Rightarrow p)\wedge(\neg q \Rightarrow p)\bigr)
é sempre verdadeira, isto é, são equivalentes.

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