Calcule a derivada usando os teoremas. Seja a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3} \cdot \operatorname{tgx}. Calcule \mathrm{f}^{\prime}(\pi).

Passo 1

O enunciado nos fornece a função
f(x)=x^{3}\tan x
e pede o valor de f'(\pi). Para isso, vamos usar a regra do produto e a derivada de \tan x, que é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x) = (x^{3})'\,\tan x + x^{3}\,(\tan x)'
Como (x^{3})'=3x^{2} e (\tan x)'=\operatorname{sec}^{2}x, segue
f'(x)=3x^{2}\tan x + x^{3}\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Para avaliar em x=\pi, usamos \tan\pi=0 e \operatorname{sec}^{2}\pi=1. Logo,
f'(\pi)=3\pi^{2}\cdot0 + \pi^{3}\cdot1 = \pi^{3}.

Resposta

\pi^{3}

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