Nos exercicios 19 e (20, \mathbf{r}(t)) é o vetor posição de uma partícula no espaço no instante (t). Encontre o instante (ou os instantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
\mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(1-\cos t) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
\mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(1-\cos t) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi
Passo 1
O enunciado dá
e pede os instantes em que os vetores velocidade
e aceleração
são ortogonais. Para isso, vamos calcular
,
e impor
.
Passo 2
Derivando cada componente de
, obtemos
Passo 3
Derivando
, encontramos
Passo 4
A condição de ortogonalidade é
Calculando o produto escalar:
Logo, a condição vira
Passo 5
Resolvendo
em
, temos