Nos exercicios 19 e (20, \mathbf{r}(t)) é o vetor posição de uma partícula no espaço no instante (t). Encontre o instante (ou os instantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
\mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(1-\cos t) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá
\mathbf{r}(t)=(t-\sin t)\,\mathbf{i}+(1-\cos t)\,\mathbf{j},\quad 0\le t\le2\pi
e pede os instantes em que os vetores velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) são ortogonais. Para isso, vamos calcular \mathbf{v}(t), \mathbf{a}(t) e impor \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{r}(t), obtemos
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl(1-\cos t\bigr)\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivando \mathbf{v}(t), encontramos
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}.

Passo 4

A condição de ortogonalidade é
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0.
Calculando o produto escalar:
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =(1-\cos t)\sin t+\sin t\cos t =\sin t\bigl(1-\cos t+\cos t\bigr) =\sin t.
Logo, a condição vira
\sin t=0.

Passo 5

Resolvendo \sin t=0 em [0,2\pi], temos
t=0,\;\pi,\;2\pi.

Resposta

t=0,\;\pi,\;2\pi

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