Nos exercicios 19 e (20, \mathbf{r}(t)) é o vetor posição de uma partícula no espaço no instante (t). Encontre o instante (ou os instantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
\mathbf{r}(t)=(\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+t \mathbf{j}+(\cos t) \mathbf{k}, \quad t \geq 0
\mathbf{r}(t)=(\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+t \mathbf{j}+(\cos t) \mathbf{k}, \quad t \geq 0
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição de uma partícula
e pede os instantes em que o vetor velocidade e o vetor aceleração são ortogonais. O conteúdo é cálculo de derivadas para obter
e
, seguido de produto escalar para verificar ortogonalidade.
Passo 2
Calculamos o vetor velocidade como a derivada de
:
Passo 3
Calculamos o vetor aceleração como a derivada de
:
Passo 4
Para verificar ortogonalidade, fazemos o produto escalar
:
Como o produto escalar é zero para todo
, os vetores são ortogonais em qualquer instante do intervalo dado.
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais para todo
.