Nos exercicios 19 e (20, \mathbf{r}(t)) é o vetor posição de uma partícula no espaço no instante (t). Encontre o instante (ou os instantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
\mathbf{r}(t)=(\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+t \mathbf{j}+(\cos t) \mathbf{k}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição de uma partícula
\mathbf{r}(t) = (\sin t)\,\mathbf{i} + t\,\mathbf{j} + (\cos t)\,\mathbf{k}, \quad t \ge 0,
e pede os instantes em que o vetor velocidade e o vetor aceleração são ortogonais. O conteúdo é cálculo de derivadas para obter \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t), seguido de produto escalar para verificar ortogonalidade.

Passo 2

Calculamos o vetor velocidade como a derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = (\cos t)\,\mathbf{i} + (1)\,\mathbf{j} + (-\sin t)\,\mathbf{k}.

Passo 3

Calculamos o vetor aceleração como a derivada de \mathbf{v}(t):
\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = (-\sin t)\,\mathbf{i} + (0)\,\mathbf{j} + (-\cos t)\,\mathbf{k}.

Passo 4

Para verificar ortogonalidade, fazemos o produto escalar \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t):
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) = (\cos t)(-\sin t) + (1)(0) + (-\sin t)(-\cos t) = -\cos t\,\sin t + \sin t\,\cos t = 0.
Como o produto escalar é zero para todo t\ge0, os vetores são ortogonais em qualquer instante do intervalo dado.

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais para todo t \ge 0.

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