Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
. Informação relevante fornecida:
- A expressão explícita de
: . - Pedido: encontrar
.
Passo 2
Vamos reescrever a função como uma composição de duas funções para facilitar o raciocínio. Defina:
e
Assim
. Trabalhar com essa escrita deixa claro que temos uma função externa
(a exponencial) aplicada a uma função interna
.
Passo 3
A regra que usamos para derivar uma composição
é a seguinte:
Explicando cada termo:
-
é a função interna (aqui ). -
é a função externa (aqui ). -
significa: primeiro derivar em relação a , e depois avaliar esse resultado em . -
é a derivada da função interna em relação a .
A regra diz que multiplicamos a derivada da externa (avaliada na interna) pela derivada da interna.
Passo 4
Derivar a função externa
. Conhecimento importante sobre a exponencial base
:
- A derivada de
em relação a é novamente . Ou seja,
Isso significa que, ao aplicar a fórmula da cadeia, teremos um fator
.
Passo 5
Derivar a função interna
. Usamos duas regras básicas:
- Regra do poder:
. - Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Aplicando:
Aqui
e
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra da cadeia escrita no Passo 3. Substituindo
e
, obtemos a expressão
Para finalizar, basta re-substituir
. A expressão acima é exatamente a forma da derivada de
; a forma com
será transformada na forma com a expressão explícita de
na seção de resposta.
Passo 7
Checagem rápida (intuição): para funções como
a mesma ideia dá
. Para
dá
. No nosso caso a multiplicação final será por
, que é a derivada da parte interna.