Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=e^{x^{3}+2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x^{3}+2x} e pede para calcular a derivada de f em relação a x. Informação relevante fornecida:
  • A expressão explícita de f(x): e^{x^{3}+2x}.
  • Pedido: encontrar f'(x).

Passo 2

Vamos reescrever a função como uma composição de duas funções para facilitar o raciocínio. Defina:
u(x)=x^{3}+2x
e
g(u)=e^{u}.
Assim f(x)=g(u(x)). Trabalhar com essa escrita deixa claro que temos uma função externa g (a exponencial) aplicada a uma função interna u.

Passo 3

A regra que usamos para derivar uma composição f(x)=g(u(x)) é a seguinte:
\text{Se }f(x)=g(u(x))\quad\text{então}\quad f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Explicando cada termo:
  • u(x) é a função interna (aqui x^{3}+2x).
  • g(u) é a função externa (aqui e^{u}).
  • g'\bigl(u(x)\bigr) significa: primeiro derivar g em relação a u, e depois avaliar esse resultado em u=u(x).
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
    A regra diz que multiplicamos a derivada da externa (avaliada na interna) pela derivada da interna.

Passo 4

Derivar a função externa g(u)=e^{u}. Conhecimento importante sobre a exponencial base e:
  • A derivada de e^{u} em relação a u é novamente e^{u}. Ou seja,
g'(u)=\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
Isso significa que, ao aplicar a fórmula da cadeia, teremos um fator e^{u(x)}.

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=x^{3}+2x. Usamos duas regras básicas:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+2x\bigr)=\frac{d}{dx}x^{3}+\frac{d}{dx}(2x)=3x^{2}+2.
Aqui \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} e \frac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia escrita no Passo 3. Substituindo g'(u)=e^{u} e u'(x)=3x^{2}+2, obtemos a expressão
g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=e^{u(x)}\cdot\bigl(3x^{2}+2\bigr).
Para finalizar, basta re-substituir u(x)=x^{3}+2x. A expressão acima é exatamente a forma da derivada de f; a forma com u(x) será transformada na forma com a expressão explícita de u na seção de resposta.

Passo 7

Checagem rápida (intuição): para funções como h(x)=e^{2x} a mesma ideia dá h'(x)=e^{2x}\cdot 2. Para k(x)=e^{x^{2}} k'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x. No nosso caso a multiplicação final será por 3x^{2}+2, que é a derivada da parte interna.

Resposta

f'(x)=e^{x^{3}+2x}\,(3x^{2}+2)

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