Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=\sin ^{3}(2 x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se: calcular a derivada de f(x)=\sin^{3}(2x).
  • Informação dada: a função é a composição de uma potenciação (elevar ao cubo) com a função seno e com a função linear 2x.

Passo 2

Como vou proceder (plano rápido): usar a regra da cadeia para derivar composições de funções. Vou decompor a função em camadas (externa, intermediária, interna), derivar cada camada e multiplicar conforme a regra da cadeia. Vou explicar a regra antes de aplicar, bem devagar.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma didática:
  • Se uma função é composição de duas funções, isto é, se F(x)=H(G(x)), então a derivada é dada por
F'(x)=H'\bigl(G(x)\bigr)\cdot G'(x).
Aqui:
  • H é a função externa (aquela aplicada por último);
  • G é a função interna (aquela aplicada primeiro);
  • H'(u) significa a derivada de H em função da sua variável genérica u, e depois substitui-se u=G(x);
  • G'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Se há mais de duas camadas (por exemplo H(G(J(x)))), aplica-se a regra da cadeia repetidas vezes: derivar a camada externa, multiplicar pela derivada da camada seguinte, e assim por diante.
Exemplo simples (apenas para fixar): se F(x)=(\sin x)^3, pensar em H(u)=u^3 e G(x)=\sin x. Então F'(x)=3(\sin x)^2\cdot\cos x.

Passo 4

Identificando as camadas em f(x)=\sin^{3}(2x):
  • Camada externa: elevar ao cubo. Defino H(u)=u^{3}, onde u será o resultado da camada seguinte.
  • Camada intermediária: função seno. Defino G(v)=\sin v, onde v é a camada interna.
  • Camada interna: função linear v(x)=2x.
Posso também agrupar em duas camadas diretamente: u(x)=\sin(2x) e f(x)=u(x)^3. Isso é equivalente e às vezes mais prático.

Passo 5

Derivar cada camada:
  • Derivada da camada externa H(u)=u^{3}:
H'(u)=3u^{2}.
Explicando: a regra da potência diz que \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Aqui n=3.
  • Derivada da camada intermediária G(v)=\sin v:
G'(v)=\cos v.
Explicando: a derivada do seno é o cosseno.
  • Derivada da camada interna v(x)=2x:
v'(x)=2.
Explicando: a derivada de ax é a.

Passo 6

Agora aplicar a regra da cadeia combinando as derivadas (usando a decomposição f(x)=H(G(v(x))) ou f(x)=(u(x))^{3}).
Usando u(x)=\sin(2x), temos:
f'(x)=H'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo H'(u)=3u^{2} e u(x)=\sin(2x):
f'(x)=3\bigl(\sin(2x)\bigr)^{2}\cdot u'(x).
Agora u'(x) é a derivada de \sin(2x). Pela regra da cadeia novamente:
u'(x)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).
Portanto,
f'(x)=3\bigl(\sin(2x)\bigr)^{2}\cdot 2\cos(2x).

Passo 7

Simplificando o produto numérico:
f'(x)=6\sin^{2}(2x)\cos(2x).
Essa é uma forma direta, clara e muito usada em provas.
Opcional — forma alternativa com identidade trigonométrica (só para ver outra escrita): usando \sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x), podemos escrever
\sin^{2}(2x)\cos(2x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x)\sin(4x),
logo outra forma equivalente é
f'(x)=3\sin(2x)\sin(4x).
Mas a forma mais imediata e direta é 6\sin^{2}(2x)\cos(2x).

Resposta

6\sin^{2}(2x)\cos(2x)

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