Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se: calcular a derivada de
. - Informação dada: a função é a composição de uma potenciação (elevar ao cubo) com a função seno e com a função linear
.
Passo 2
Como vou proceder (plano rápido): usar a regra da cadeia para derivar composições de funções. Vou decompor a função em camadas (externa, intermediária, interna), derivar cada camada e multiplicar conforme a regra da cadeia. Vou explicar a regra antes de aplicar, bem devagar.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma didática:
- Se uma função é composição de duas funções, isto é, se
, então a derivada é dada por
Aqui:
-
é a função externa (aquela aplicada por último); -
é a função interna (aquela aplicada primeiro); -
significa a derivada de em função da sua variável genérica , e depois substitui-se ; -
é a derivada da função interna em relação a .
Se há mais de duas camadas (por exemplo
), aplica-se a regra da cadeia repetidas vezes: derivar a camada externa, multiplicar pela derivada da camada seguinte, e assim por diante.
Exemplo simples (apenas para fixar): se
, pensar em
e
. Então
.
Passo 4
Identificando as camadas em
:
- Camada externa: elevar ao cubo. Defino
, onde será o resultado da camada seguinte. - Camada intermediária: função seno. Defino
, onde é a camada interna. - Camada interna: função linear
.
Posso também agrupar em duas camadas diretamente:
e
. Isso é equivalente e às vezes mais prático.
Passo 5
Derivar cada camada:
- Derivada da camada externa
:
Explicando: a regra da potência diz que
. Aqui
.
- Derivada da camada intermediária
:
Explicando: a derivada do seno é o cosseno.
- Derivada da camada interna
:
Explicando: a derivada de
é
.
Passo 6
Agora aplicar a regra da cadeia combinando as derivadas (usando a decomposição
ou
).
Usando
, temos:
Substituindo
e
:
Agora
é a derivada de
. Pela regra da cadeia novamente:
Portanto,
Passo 7
Simplificando o produto numérico:
Essa é uma forma direta, clara e muito usada em provas.
Opcional — forma alternativa com identidade trigonométrica (só para ver outra escrita): usando
, podemos escrever
logo outra forma equivalente é
Mas a forma mais imediata e direta é
.