Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Foi dada a função
. - O pedido é calcular a derivada de
em relação a , isto é, .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando uma função é composta — ou seja, tem a forma
— usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz que a derivada de uma composição é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Em forma simbólica:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função composta que queremos derivar. -
é a função externa (a “camada” de fora). -
é a função interna (o que está dentro). -
e são as derivadas de e , respectivamente.
Passo 3
Identificar as funções externa e interna no nosso caso:
- A função dada é
. - Tome a função interna
. - Tome a função externa
, onde representa o valor da função interna.
Ou seja, podemos escrevercom .
Passo 4
Calcular as derivadas das partes:
- Derivada da função externa em termos de
: a derivada de em relação a é
Explicação: a função exponencial
é especial porque sua derivada é ela mesma.
- Derivada da função interna em termos de
: a derivada de é
Explicação: a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia e montar a derivada de
:
Substituindo
com
e
, obtemos
Você pode escrever na ordem que preferir, por exemplo
.
Dica rápida para a prova: sempre que vir
, pense primeiro na derivada de “algo” (é o que multiplica no final) e mantenha
como fator. Ex.:
.