Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=e^{\sin x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Foi dada a função f(x)=e^{\sin x}.
  • O pedido é calcular a derivada de f em relação a x, isto é, f'(x).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando uma função é composta — ou seja, tem a forma F(g(x)) — usamos a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia diz que a derivada de uma composição é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna. Em forma simbólica:
\text{Se }h(x)=F(g(x))\text{ então }h'(x)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).ã
Aqui cada símbolo significa:
  • h(x) é a função composta que queremos derivar.
  • F é a função externa (a “camada” de fora).
  • g é a função interna (o que está dentro).
  • F' e g' são as derivadas de F e g, respectivamente.

Passo 3

Identificar as funções externa e interna no nosso caso:
  • A função dada é f(x)=e^{\sin x}.
  • Tome a função interna g(x)=\sin x.
  • Tome a função externa F(u)=e^{u}, onde u representa o valor da função interna.
    Ou seja, podemos escrever f(x)=F\big(g(x)\big) com u=g(x)=\sin x.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes:
  • Derivada da função externa em termos de u: a derivada de F(u)=e^{u} em relação a u é
F'(u)=e^{u}.
Explicação: a função exponencial e^{u} é especial porque sua derivada é ela mesma.
  • Derivada da função interna em termos de x: a derivada de g(x)=\sin x é
g'(x)=\cos x.
Explicação: a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e montar a derivada de f:
f'(x)=F'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Substituindo F'(u)=e^{u} com u=g(x)=\sin x e g'(x)=\cos x, obtemos
f'(x)=e^{\sin x}\cdot \cos x.
Você pode escrever na ordem que preferir, por exemplo f'(x)=\cos x\,e^{\sin x}.
Dica rápida para a prova: sempre que vir \dfrac{d}{dx}e^{\text{algo}}, pense primeiro na derivada de “algo” (é o que multiplica no final) e mantenha e^{\text{algo}} como fator. Ex.: \dfrac{d}{dx}e^{x^2}=2x\,e^{x^2}.

Resposta

f'(x)=e^{\sin x}\cos x

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