Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
x y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação x\,y=1 e pede para calcular \dfrac{d y}{d x}. Importante: aqui y é uma função de x, ou seja, y=y(x). Então o que queremos é a derivada de y em relação a x, escrita \dfrac{d y}{d x} ou y'.

Passo 2

Vamos revisar uma ferramenta essencial: a regra do produto. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa \dfrac{du}{dx} e v'(x) significa \dfrac{dv}{dx}. Exemplo rápido para fixar: para u(x)=x e v(x)=\sin x,
\frac{d}{dx}\big(x\sin x\big)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.

Passo 3

Aplique a diferenciação em ambos os lados da equação x\,y=1. Diferenciando em relação a x e usando a regra do produto com u(x)=x e v(x)=y(x):
\frac{d}{dx}\big(x\,y\big)=\frac{d}{dx}(1).
O lado esquerdo vira, pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x\,y'.
O lado direito é derivada da constante 1, que é 0. Portanto obtemos a equação
y + x\,y' = 0.

Passo 4

Agora isolamos y'. Subtraindo y de ambos os lados:
x\,y' = -y.
Dividindo por x (supondo x\neq0):
y' = -\frac{y}{x}.
Isso é a derivada implícita de y em termos de x e y.

Passo 5

Como checagem e para ver outra forma, podemos resolver explicitamente a equação original: y=\dfrac{1}{x}=x^{-1}. Diferenciando explicitamente com a regra da potência:
y' = \frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Substituindo y=\dfrac{1}{x} na forma implícita y'=-\dfrac{y}{x} obtemos
y'=-\frac{1/x}{x}=-\frac{1}{x^{2}},
que coincide com a derivada obtida explicitamente. Beleza — as duas formas batem.

Resposta

-\dfrac{y}{x}
-\dfrac{1}{x^{2}}

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