Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. Informações dadas:
- A função é
. - Objetivo: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia para composição de funções. Se tivermos uma função composta
, a regra da cadeia diz que a derivada é
Aqui
é a derivada de
em relação à sua variável (chamemos de
) e
é a derivada de
em relação a
. Em palavras: derivar a função externa avaliada na interna e multiplicar pela derivada da função interna.
Passo 3
Identificar função externa e interna na nossa
.
- Função externa (em termos de uma variável intermediária
): . - Função interna:
.
Agora calculamos a derivada da externa em relação a. Usamos a regra da potência: para ,
Aplicando com
:
Passo 4
Derivada da função interna
. Derivadas básicas:
- Derivada de uma constante é zero:
. - Derivada do exponencial
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia:
.
Substituindo com
, e
, obtemos
Substituindo
Podemos reescrever numa ordem mais usual:
Passo 6
Pequena verificação numérica para ganhar confiança: em
,
o que faz sentido como teste rápido.