Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=\left(1+e^{x}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f. Informações dadas:
  • A função é f(x)=\left(1+e^{x}\right)^{4}.
  • Objetivo: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia para composição de funções. Se tivermos uma função composta F(x)=g(h(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Aqui g' é a derivada de g em relação à sua variável (chamemos de u) e h' é a derivada de h em relação a x. Em palavras: derivar a função externa avaliada na interna e multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Identificar função externa e interna na nossa f(x).
  • Função externa (em termos de uma variável intermediária u): g(u)=u^{4}.
  • Função interna: h(x)=1+e^{x}.
    Agora calculamos a derivada da externa em relação a u. Usamos a regra da potência: para u^{n},
\frac{d}{du}u^{n}=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=4:
g'(u)=4u^{3}.

Passo 4

Derivada da função interna h(x)=1+e^{x}. Derivadas básicas:
  • Derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}1=0.
  • Derivada do exponencial \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    Portanto
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(1+e^{x}\big)=0+e^{x}=e^{x}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Substituindo g'(u)=4u^{3} com u=h(x)=1+e^{x}, e h'(x)=e^{x}, obtemos
f'(x)=4\big(1+e^{x}\big)^{3}\cdot e^{x}.
Podemos reescrever numa ordem mais usual:
f'(x)=4e^{x}\big(1+e^{x}\big)^{3}.

Passo 6

Pequena verificação numérica para ganhar confiança: em x=0,
f'(0)=4e^{0}\big(1+e^{0}\big)^{3}=4\cdot1\cdot(1+1)^{3}=4\cdot8=32,
o que faz sentido como teste rápido.

Resposta

4e^{x}\big(1+e^{x}\big)^{3}

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