Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
x^{2} y+x y^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
x^{2}y + x y^{2} = 1.
O que precisa ser calculado é a derivada de y em relação a x, isto é, \dfrac{dy}{dx}, supondo que y é função de x (mesmo que não tenhamos uma expressão explícita para y). Não há outras informações numéricas; a tarefa é aplicar diferenciação implícita à equação dada.

Passo 2

Ideia geral e regras que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
  • Quando y depende de x, ao derivar uma expressão que contenha y usamos a regra da cadeia: a derivada de y em relação a x é \dfrac{dy}{dx}, que vou denotar por y'. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\big(y\big)=y' e \dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\,y'.
  • Quando temos produto de duas funções de x, usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'.
    Vamos aplicar essas regras termo a termo na equação x^{2}y + x y^{2} = 1. Lembre-se: o lado direito 1 é constante, então sua derivada é 0.

Passo 3

Derivar o primeiro termo x^{2}y.
Trata-se de um produto entre u(x)=x^{2} e v(x)=y(x).
  • u'(x)=2x.
  • v'(x)=y'.
    Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot y' .

Passo 4

Derivar o segundo termo x y^{2}.
Trata-se de um produto entre u(x)=x e v(x)=y^{2}.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\,y' (aqui usamos a regra da cadeia: derivada de y^{2} é 2y vezes y').
    Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x y^{2}\big)=1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\,y' = y^{2} + 2x y\,y'.

Passo 5

Juntar as derivadas dos dois termos e igualar à derivada do lado direito.
Do Passo 3 e do Passo 4 temos
2x y + x^{2} y' + y^{2} + 2x y\,y' = 0,
pois \dfrac{d}{dx}(1)=0.

Passo 6

Isolar y'. Primeiro agrupo os termos que contêm y' e os que não contêm:
x^{2} y' + 2x y\,y' + (2x y + y^{2}) = 0.
Agora fatoro y' nos termos que o têm:
y'\big(x^{2} + 2x y\big) + (2x y + y^{2}) = 0.
Passo o termo não dependente de y' para o outro lado:
y'\big(x^{2} + 2x y\big) = -\big(2x y + y^{2}\big).
Finalmente, divido pelo fator \big(x^{2} + 2x y\big) (tomando cuidado de que esse denominador não seja zero nos pontos em que aplicamos a fórmula):
y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x y + y^{2}}{x^{2} + 2x y}.

Passo 7

Forma alternativa, fatorando y no numerador e x no denominador para ver estrutura:
\frac{dy}{dx} = -\frac{y(2x + y)}{x(x + 2y)}.
Observação didática: essa forma pode ajudar a identificar possíveis simplificações ou pontos onde a derivada é indefinida — por exemplo, quando x=0 ou x+2y=0 (esses são pontos em que o denominador zera e a fórmula não vale diretamente, podendo indicar tangente vertical).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2x y + y^{2}}{x^{2} + 2x y}

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