Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que precisa ser calculado é a derivada de
em relação a
, isto é,
, supondo que
é função de
(mesmo que não tenhamos uma expressão explícita para
). Não há outras informações numéricas; a tarefa é aplicar diferenciação implícita à equação dada.
Passo 2
Ideia geral e regras que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
- Quando
depende de , ao derivar uma expressão que contenha usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , que vou denotar por . Por exemplo, e . - Quando temos produto de duas funções de
, usamos a regra do produto: se e são funções, .
Vamos aplicar essas regras termo a termo na equação. Lembre-se: o lado direito é constante, então sua derivada é .
Passo 3
Derivar o primeiro termo
.
Trata-se de um produto entre e
.
Trata-se de um produto entre
-
. -
.
Pela regra do produto:
Passo 4
Derivar o segundo termo
.
Trata-se de um produto entre e
.
Trata-se de um produto entre
-
. -
(aqui usamos a regra da cadeia: derivada de é vezes ).
Pela regra do produto:
Passo 5
Juntar as derivadas dos dois termos e igualar à derivada do lado direito.
Do Passo 3 e do Passo 4 temos
Do Passo 3 e do Passo 4 temos
pois
.
Passo 6
Isolar
. Primeiro agrupo os termos que contêm
e os que não contêm:
Agora fatoro
nos termos que o têm:
Passo o termo não dependente de
para o outro lado:
Finalmente, divido pelo fator
(tomando cuidado de que esse denominador não seja zero nos pontos em que aplicamos a fórmula):
Passo 7
Forma alternativa, fatorando
no numerador e
no denominador para ver estrutura:
Observação didática: essa forma pode ajudar a identificar possíveis simplificações ou pontos onde a derivada é indefinida — por exemplo, quando
ou
(esses são pontos em que o denominador zera e a fórmula não vale diretamente, podendo indicar tangente vertical).