Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como uma potência de uma expressão (ou seja, é uma função composta).
- A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos aprender a ferramenta principal que vamos usar: a regra da cadeia.
Regra da cadeia (enunciado): se uma função
é composição de duas funções, isto é,
, então a derivada de
é
O que isso significa, em palavras simples:
- Identifica-se a função “externa”
(aquela aplicada por último) e a função “interna” (aquela aplicada primeiro). - Deriva-se a externa em termos de sua variável genérica
, e depois substitui-se . - Multiplica-se pelo derivado da função interna
.
Também precisamos do caso especial (ferramenta extra, que é um corolário útil da regra da cadeia): a regra do poder para uma função composta. Se
com
constante, então
Aqui
pode ser qualquer função diferenciável de
.
Passo 3
Identificar as partes da composição em nossa função.
Escrevemos
com
Portanto:
- A função externa
(é a potência quinta). - A função interna
.
Passo 4
Calcular as derivadas das partes e aplicar a regra da cadeia.
Derivada da externa em termos de
:
pela regra do poder.
Derivada da interna em termos de
:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Fazendo a multiplicação escalar
,
Passo 5
Verificação rápida com um exemplo parecido (para consolidar): se
, então pela mesma ideia a derivada é
o que segue o mesmo padrão que usamos em
. Isso dá confiança de que o procedimento foi aplicado corretamente.