Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)^{5}.
Informações dadas:
  • A função está escrita como uma potência de uma expressão (ou seja, é uma função composta).
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos aprender a ferramenta principal que vamos usar: a regra da cadeia.
Regra da cadeia (enunciado): se uma função h é composição de duas funções, isto é, h(x)=F(u(x)), então a derivada de h é
h'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
O que isso significa, em palavras simples:
  • Identifica-se a função “externa” F (aquela aplicada por último) e a função “interna” u (aquela aplicada primeiro).
  • Deriva-se a externa em termos de sua variável genérica u, e depois substitui-se u=u(x).
  • Multiplica-se pelo derivado da função interna u'(x).
Também precisamos do caso especial (ferramenta extra, que é um corolário útil da regra da cadeia): a regra do poder para uma função composta. Se F(u)=u^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) pode ser qualquer função diferenciável de x.

Passo 3

Identificar as partes da composição em nossa função.
Escrevemos
f(x)=F\bigl(u(x)\bigr)
com
F(u)=u^{5}\qquad\text{e}\qquad u(x)=3x^{2}+1.
Portanto:
  • A função externa F(u)=u^{5} (é a potência quinta).
  • A função interna u(x)=3x^{2}+1.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes e aplicar a regra da cadeia.
Derivada da externa em termos de u:
F'(u)=5u^{4},
pela regra do poder.
Derivada da interna em termos de x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+1\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(1)=3\cdot(2x)+0=6x.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=5\bigl(u(x)\bigr)^{4}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3x^{2}+1 e u'(x)=6x, obtemos
f'(x)=5\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{4}\cdot 6x.
Fazendo a multiplicação escalar 5\cdot 6x=30x,
f'(x)=30x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{4}.

Passo 5

Verificação rápida com um exemplo parecido (para consolidar): se g(x)=(2x+1)^{3}, então pela mesma ideia a derivada é
g'(x)=3(2x+1)^{2}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=3(2x+1)^{2}\cdot 2=6(2x+1)^{2},
o que segue o mesmo padrão que usamos em f. Isso dá confiança de que o procedimento foi aplicado corretamente.

Resposta

f'(x)=30x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{4}

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