Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia: f(x)=\sqrt{2 x+3}
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:\n
Pede-se a derivada da função f.
A função dada é f(x)=\sqrt{2 x+3}.
Informação útil: dentro da raiz deve valer 2x+3\ge0, ou seja o domínio natural da função é x\ge -\tfrac{3}{2}.
Objetivo final: obter uma fórmula para f'(x) (e indicar onde essa derivada está definida).
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia de forma simples e prática (a aula rapidinha antes do cálculo):\n
Quando uma função é uma composição, isto é, quando aparece algo como f(x)=h(u(x)), calcula-se a derivada usando a regra da cadeia:\n
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa: u(x) é a função interna (o que está “dentro”), h(u) é a função externa (o que faz algo com o resultado da interna), u'(x) é a derivada da interna em relação a x e h'(u) é a derivada da externa em relação à sua variável u. Depois substitui-se u=u(x).\n
Um caso muito comum e útil: se h(u)=u^{n} (uma potência), então\n
h'(u)=n\,u^{n-1}.
No nosso caso a raiz quadrada é a potência u^{1/2}, então a derivada da externa será \tfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. Isso é tudo que precisamos para aplicar a cadeia.
Passo 3
Identificar função externa e interna para f(x)=\sqrt{2 x+3}:\n
Função interna: u(x)=2x+3.
Função externa: h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.\n
Agora calculo as derivadas separadas:\n
Derivada da interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x+3)=2.\n
Derivada da externa (usando potência 1/2): h'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia passo a passo:\n
Usando f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x) temos\n
Simplificando o 2 que multiplica e o \tfrac{1}{2}:\n
f'(x)=(2x+3)^{-1/2}.
Reescrevendo em forma de raiz para ficar mais claro:\n
f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}.
Observação sobre domínio: essa expressão para f'(x) só faz sentido quando \,2x+3>0, ou seja para x>-\tfrac{3}{2}. No ponto x=-\tfrac{3}{2} a derivada tende para infinito (não existe derivada finita ali).