Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=\sqrt{2 x+3}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:\n
  • Pede-se a derivada da função f.
  • A função dada é f(x)=\sqrt{2 x+3}.
  • Informação útil: dentro da raiz deve valer 2x+3\ge0, ou seja o domínio natural da função é x\ge -\tfrac{3}{2}.
  • Objetivo final: obter uma fórmula para f'(x) (e indicar onde essa derivada está definida).

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia de forma simples e prática (a aula rapidinha antes do cálculo):\n
  • Quando uma função é uma composição, isto é, quando aparece algo como f(x)=h(u(x)), calcula-se a derivada usando a regra da cadeia:\n
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa: u(x) é a função interna (o que está “dentro”), h(u) é a função externa (o que faz algo com o resultado da interna), u'(x) é a derivada da interna em relação a x e h'(u) é a derivada da externa em relação à sua variável u. Depois substitui-se u=u(x).\n
  • Um caso muito comum e útil: se h(u)=u^{n} (uma potência), então\n
h'(u)=n\,u^{n-1}.
No nosso caso a raiz quadrada é a potência u^{1/2}, então a derivada da externa será \tfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. Isso é tudo que precisamos para aplicar a cadeia.

Passo 3

Identificar função externa e interna para f(x)=\sqrt{2 x+3}:\n
  • Função interna: u(x)=2x+3.
  • Função externa: h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.\n
    Agora calculo as derivadas separadas:\n
  • Derivada da interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x+3)=2.\n
  • Derivada da externa (usando potência 1/2): h'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:\n
Usando f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x) temos\n
f'(x)=\left(\dfrac{1}{2}(u)^{-1/2}\right)\Big|_{u=2x+3}\cdot 2.
Substituindo u=2x+3:\n
f'(x)=\dfrac{1}{2}\,(2x+3)^{-1/2}\cdot 2.
Simplificando o 2 que multiplica e o \tfrac{1}{2}:\n
f'(x)=(2x+3)^{-1/2}.
Reescrevendo em forma de raiz para ficar mais claro:\n
f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}.
Observação sobre domínio: essa expressão para f'(x) só faz sentido quando \,2x+3>0, ou seja para x>-\tfrac{3}{2}. No ponto x=-\tfrac{3}{2} a derivada tende para infinito (não existe derivada finita ali).

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}

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