Calcule as derivadas:
f(x)=(3 x-1)(\tan x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(3x-1)(\tan x)
e pede para calcular a derivada f'(x). Informação relevante: a função envolve um produto de duas funções (uma linear e uma trigonométrica) e \tan x só está definida para x \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} (isso importa se for discutir domínio da derivada).

Passo 2

Regra que vou usar (produto de duas funções): se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) indica a derivada de u em relação a x, e v'(x) a derivada de v em relação a x. É a fórmula padrão do produto: “deriva a primeira vezes a segunda + a primeira vezes deriva a segunda”.

Passo 3

Identifico as duas funções que estão sendo multiplicadas:
u(x)=3x-1,\qquad v(x)=\tan x.
Agora calculo u'(x). Como u(x) é uma função linear 3x-1, a sua derivada é o coeficiente de x:
u'(x)=3.
Explicando rapidamente: a derivada de ax+b é a, porque a taxa de variação de uma reta é sua inclinação.

Passo 4

Preciso de v'(x), ou seja, da derivada de \tan x. Vou mostrar por quê \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x. Usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente,
\frac{d}{dx}\tan x =\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}.
Como \cos^2 x+\sin^2 x=1, temos
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto
v'(x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto \big(u'v+uv'\big). Substituindo u,\;u',\;v,\;v' que calculei:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =3\cdot\tan x+(3x-1)\cdot\operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Posso deixar a resposta exatamente assim, que já está simples e direta. Se preferir uma forma sem \operatorname{sec}, pode escrever \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e obter
f'(x)=3\tan x+(3x-1)\frac{1}{\cos^2 x}.
Mas a forma com \operatorname{sec}^2 x é mais curta e comum.

Resposta

f'(x)=3\tan x+(3x-1)\operatorname{sec}^2 x

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