Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a composição de uma função exterior do tipo potência e uma função interior polinomial.
- Quer-se
, a derivada em relação a .
Passo 2
Ideia do método (explicada de forma didática e sem pular etapas):
- Quando temos uma função composta da forma
, a regra da cadeia diz que a derivada é
Aqui:
-
é a função interior (aquela que aparece dentro de outra). -
é a função exterior, vista em termos de uma variável intermediária . - Primeiro calcula-se
(derivada da parte interior) e (derivada da parte exterior), depois substitui-se em e multiplica-se por .
Também precisamos da regra da potência: para uma função
com
constante,
Isto é exatamente a aplicação da regra da cadeia com
.
Passo 3
Identificar interior e exterior para este problema:
- Função interior:
. - Função exterior:
(onde ).
Calcular a derivada da função interior:
Explicação: a derivada de
é
(regra da potência com
) e a derivada de
é
.
Passo 4
Calcular a derivada da função exterior usando a regra da potência:
Explicação: aplicou-se
com
, resultando em
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia: substituir
em
e multiplicar por
:
Agora simplificar os fatores numéricos:
Uma forma equivalente, removendo o expoente negativo para o denominador, é
Passo 6
Pequena checagem numérica para ver se faz sentido (opcional e didático):
- Em
, a fórmula dá , compatível com a simetria da função (par, extremum em ). - Em
, dá , um número positivo como esperado já que a função cresce para .