Calcule a derivada utilizando a regra da cadeia:
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{1/3}.
Informações dadas:
  • A função é a composição de uma função exterior do tipo potência e uma função interior polinomial.
  • Quer-se f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Ideia do método (explicada de forma didática e sem pular etapas):
  • Quando temos uma função composta da forma f(x)=g(h(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Aqui:
  • h(x) é a função interior (aquela que aparece dentro de outra).
  • g(u) é a função exterior, vista em termos de uma variável intermediária u.
  • Primeiro calcula-se h'(x) (derivada da parte interior) e g'(u) (derivada da parte exterior), depois substitui-se u=h(x) em g'(u) e multiplica-se por h'(x).
Também precisamos da regra da potência: para uma função u(x)^{n} com n constante,
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Isto é exatamente a aplicação da regra da cadeia com g(u)=u^{n}.

Passo 3

Identificar interior e exterior para este problema:
  • Função interior: h(x)=x^{2}+1.
  • Função exterior: g(u)=u^{1/3} (onde u=h(x)).
Calcular a derivada da função interior:
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x.
Explicação: a derivada de x^{2} é 2x (regra da potência com n=2) e a derivada de 1 é 0.

Passo 4

Calcular a derivada da função exterior usando a regra da potência:
g'(u)=\frac{d}{du}\big(u^{1/3}\big)=\frac{1}{3}\,u^{-2/3}.
Explicação: aplicou-se n\,u^{n-1} com n=\tfrac{1}{3}, resultando em \tfrac{1}{3}u^{1/3-1}=\tfrac{1}{3}u^{-2/3}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: substituir u=h(x)=x^{2}+1 em g'(u) e multiplicar por h'(x):
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x) =\frac{1}{3}\big(x^{2}+1\big)^{-2/3}\cdot 2x.
Agora simplificar os fatores numéricos:
f'(x)=\frac{2x}{3}\big(x^{2}+1\big)^{-2/3}.
Uma forma equivalente, removendo o expoente negativo para o denominador, é
f'(x)=\frac{2x}{3\big(x^{2}+1\big)^{2/3}}.

Passo 6

Pequena checagem numérica para ver se faz sentido (opcional e didático):
  • Em x=0, a fórmula dá f'(0)=\dfrac{2\cdot 0}{3(0^{2}+1)^{2/3}}=0, compatível com a simetria da função f (par, extremum em 0).
  • Em x=1, dá f'(1)=\dfrac{2}{3(2)^{2/3}}, um número positivo como esperado já que a função cresce para x>0.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{3\big(x^{2}+1\big)^{2/3}}

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