Calcule as derivadas:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- O enunciado pede: calcular a derivada de
. - Informação importante sobre domínio: a presença de
implica que a função está definida para . Para derivadas de potências com expoentes fracionários, é preciso tomar cuidado em . - Resumo do objetivo: encontrar
(quando existir) e indicar para quais a fórmula vale.
Passo 2
Escolha do método — por que simplificar primeiro.
Temos um produto
. Duas opções naturais: aplicar a regra do produto ou primeiro reescrever
como uma potência e multiplicar os termos, obtendo soma de potências; em seguida usar a regra da potência (power rule). Reescrever e usar a regra da potência é mais direto e leva a contas simples sem necessidade de memorizar a demonstração da regra do produto na prova, então vou seguir esse caminho.
Passo 3
Reescrever a função usando potências e expandir.
- Escrevendo
como , tem-se
- Multiplicando termo a termo usando a regra
:
Passo 4
A regra da potência (fórmula) e explicação didática.
- Regra da potência: para um número real
, a derivada de (quando está bem definida) é
- O que cada símbolo significa:
-
é a variável independente. -
é o expoente (pode ser inteiro, fracionário, etc.). -
é apenas a potência com o expoente reduzido em uma unidade.
-
- Observação sobre domínio: quando
não é inteiro, a expressão e sua derivada estão definidas normalmente só para (no caso de expoentes racionais de forma com denominador par, incluir pode ser problemático). Aqui os expoentes são fracionários ( , ), então a aplicação direta da fórmula dá resultado válido para . Depois verificamos separadamente.
Exemplo rápido para fixar:
;
.
Passo 5
Aplicar a regra da potência termo a termo.
A função está escrita como soma de duas potências:
. Aplicando
a cada termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Somando as duas derivadas:
Passo 6
Simplificar a expressão para uma forma mais compacta e interpretar o domínio.
- Podemos fatorar
para deixar a expressão mais bonita:
- Reescrevendo
:
- Lembrete importante sobre domínio: essa forma usa
no denominador, então está válida para . Portanto a fórmula acima vale para todos os .
Passo 7
Verificação em
: a derivada existe em
?
- Avaliando a diferença quociente à direita em
:
- Quando
, tem-se . Logo o quociente de diferença não tende a um número finito: a derivada lateral direita não existe finita. - Conclusão:
não é diferenciável em . A fórmula encontrada vale apenas para .