Calcule as derivadas:
f(x)=\left(x^{2}+1\right)(\sqrt{x})

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)\sqrt{x}.
  • Informação importante sobre domínio: a presença de \sqrt{x} implica que a função está definida para x\ge 0. Para derivadas de potências com expoentes fracionários, é preciso tomar cuidado em x=0.
  • Resumo do objetivo: encontrar f'(x) (quando existir) e indicar para quais x a fórmula vale.

Passo 2

Escolha do método — por que simplificar primeiro.
Temos um produto \bigl(x^{2}+1\bigr)\sqrt{x}. Duas opções naturais: aplicar a regra do produto ou primeiro reescrever \sqrt{x} como uma potência e multiplicar os termos, obtendo soma de potências; em seguida usar a regra da potência (power rule). Reescrever e usar a regra da potência é mais direto e leva a contas simples sem necessidade de memorizar a demonstração da regra do produto na prova, então vou seguir esse caminho.

Passo 3

Reescrever a função usando potências e expandir.
  • Escrevendo \sqrt{x} como x^{1/2}, tem-se
f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)x^{1/2}.
  • Multiplicando termo a termo usando a regra x^{a}x^{b}=x^{a+b}:
f(x)=x^{2}x^{1/2}+1\cdot x^{1/2}=x^{2+\tfrac{1}{2}}+x^{\tfrac{1}{2}}=x^{5/2}+x^{1/2}.

Passo 4

A regra da potência (fórmula) e explicação didática.
  • Regra da potência: para um número real n, a derivada de x^{n} (quando está bem definida) é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
  • O que cada símbolo significa:
    • x é a variável independente.
    • n é o expoente (pode ser inteiro, fracionário, etc.).
    • x^{n-1} é apenas a potência com o expoente reduzido em uma unidade.
  • Observação sobre domínio: quando n não é inteiro, a expressão x^{n} e sua derivada estão definidas normalmente só para x>0 (no caso de expoentes racionais de forma com denominador par, incluir x=0 pode ser problemático). Aqui os expoentes são fracionários ( 5/2, 1/2), então a aplicação direta da fórmula dá resultado válido para x>0. Depois verificamos x=0 separadamente.
Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}; \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 5

Aplicar a regra da potência termo a termo.
A função está escrita como soma de duas potências: f(x)=x^{5/2}+x^{1/2}. Aplicando \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} a cada termo:
  • Derivada de x^{5/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5/2}\bigr)=\frac{5}{2}\,x^{5/2-1}=\frac{5}{2}\,x^{3/2}.
  • Derivada de x^{1/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}\,x^{1/2-1}=\frac{1}{2}\,x^{-1/2}.
Somando as duas derivadas:
f'(x)=\frac{5}{2}\,x^{3/2}+\frac{1}{2}\,x^{-1/2}.

Passo 6

Simplificar a expressão para uma forma mais compacta e interpretar o domínio.
  • Podemos fatorar \dfrac{1}{2}x^{-1/2} para deixar a expressão mais bonita:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}\bigl(5x^{2}+1\bigr).
  • Reescrevendo x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}:
f'(x)=\frac{5x^{2}+1}{2\sqrt{x}}.
  • Lembrete importante sobre domínio: essa forma usa \sqrt{x} no denominador, então está válida para x>0. Portanto a fórmula acima vale para todos os x>0.

Passo 7

Verificação em x=0: a derivada existe em 0?
  • Avaliando a diferença quociente à direita em 0:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{(h^{2}+1)\sqrt{h}-0}{h}=(h^{2}+1)h^{-1/2}=h^{3/2}+h^{-1/2}.
  • Quando h\to 0^{+}, tem-se h^{-1/2}\to +\infty. Logo o quociente de diferença não tende a um número finito: a derivada lateral direita não existe finita.
  • Conclusão: f não é diferenciável em x=0. A fórmula encontrada vale apenas para x>0.

Resposta

f'(x)=\frac{5x^{2}+1}{2\sqrt{x}},\qquad x>0
f'(0)\\ \text{não existe}ã

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