Calcule a derivada de x * |x| em x0 = 0.0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada da função no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar expressões com valor absoluto e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O valor absoluto de , representado por , é igual a quando é positivo ou zero, e igual a quando é negativo. Então, podemos reescrever a função de duas maneiras, dependendo do sinal de :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora que temos a função definida de maneira diferente para valores positivos e negativos de , podemos calcular a derivada em cada caso.
  • Para :
  • Para :

Passo 4

O próximo passo é verificar o que acontece quando se aproxima de 0, tanto pela direita quanto pela esquerda, já que queremos a derivada exatamente em .
  • Derivada quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
  • Derivada quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):

Passo 5

Como a derivada pela direita e pela esquerda são iguais e ambas são 0, podemos concluir que a derivada de no ponto existe e é igual a 0.

Resposta

A derivada de em é igual a 0.

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