Calcule a derivada de
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada da função
no ponto
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar expressões com valor absoluto e analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O valor absoluto de
, representado por
, é igual a
quando
é positivo ou zero, e igual a
quando
é negativo. Então, podemos reescrever a função de duas maneiras, dependendo do sinal de
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 3
Agora que temos a função definida de maneira diferente para valores positivos e negativos de
, podemos calcular a derivada em cada caso.
-
Para
: -
Para
:
Passo 4
O próximo passo é verificar o que acontece quando
se aproxima de 0, tanto pela direita quanto pela esquerda, já que queremos a derivada exatamente em
.
-
Derivada quando
se aproxima de 0 pela direita ( ): -
Derivada quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Passo 5
Como a derivada pela direita e pela esquerda são iguais e ambas são 0, podemos concluir que a derivada de
no ponto
existe e é igual a 0.
Resposta
A derivada de
em
é igual a 0.