Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Isso faz parte do estudo de integrais básicas, onde a gente aprende a “desfazer” as derivadas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração para funções polinomiais e para
.
Passo 2
Primeiro, vamos perceber que a integral que queremos calcular é:
Uma coisa legal sobre integrais é que a gente pode separar a soma dentro da integral em duas integrais separadas. Então, fica assim:
Isso facilita bastante a resolução!
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
. Sabemos que a integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Essa integral é um pouco especial e resulta no logaritmo natural de
. A regra é:
O valor absoluto é usado porque o logaritmo natural só é definido para números positivos, mas na prática, estamos interessados nas soluções para
.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Aqui,
representa a constante de integração, que aparece porque estamos calculando uma antiderivada geral.