Utilizando os teoremas de derivação, calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=\frac{x^{4}+2 x \sqrt{1-x}}{x^{2} \sqrt{x^{6}-x^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x^{4}+2x\sqrt{1-x}}{x^{2}\,\sqrt{x^{6}-x^{4}}}
Isso é um quociente de duas funções u(x) e v(x), então vamos usar a regra do quociente, além da regra do produto e da regra da cadeia para derivar cada parte.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{4}+2x\,(1-x)^{\tfrac12} \quad\text{e}\quad v(x)=x^{2}\,\bigl(x^{6}-x^{4}\bigr)^{\tfrac12}.
Assim
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
e pela regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^{2}}.

Passo 3

Vamos calcular u'(x).
u(x)=x^{4}+2x\,(1-x)^{\tfrac12}.
– Derivada de x^{4} é 4x^{3}.
– Para 2x\,(1-x)^{\tfrac12} usamos produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[2x\,(1-x)^{\tfrac12}\bigr] =2\,(1-x)^{\tfrac12} +2x\cdot\frac12\,(1-x)^{-\tfrac12}\,(-1) =2\,(1-x)^{\tfrac12}-x\,(1-x)^{-\tfrac12}.
Logo
u'(x)=4x^{3}+2\,(1-x)^{\tfrac12}-x\,(1-x)^{-\tfrac12}.

Passo 4

Agora v'(x).
v(x)=x^{2}\,\bigl(x^{6}-x^{4}\bigr)^{\tfrac12}.
Denote w(x)=(x^{6}-x^{4})^{\tfrac12}. Então
v'(x)=2x\,w(x)+x^{2}\,\frac12\,(x^{6}-x^{4})^{-\tfrac12}\,(6x^{5}-4x^{3}).
Isto é
v'(x) =2x\,\sqrt{x^{6}-x^{4}} +\frac{x^{2}\,(6x^{5}-4x^{3})}{2\sqrt{x^{6}-x^{4}}} =\frac{5x^{7}-4x^{5}}{\sqrt{x^{6}-x^{4}}} =\frac{x^{5}(5x^{2}-4)}{\sqrt{x^{6}-x^{4}}}.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente, e lembrando que \bigl[v(x)\bigr]^{2}=x^{4}\,(x^{6}-x^{4}), obtemos
f'(x) =\frac{\bigl(4x^{3}+2\sqrt{1-x}-x\,(1-x)^{-\tfrac12}\bigr)\,x^{2}\sqrt{x^{6}-x^{4}} -\bigl(x^{4}+2x\sqrt{1-x}\bigr)\,\dfrac{x^{5}(5x^{2}-4)}{\sqrt{x^{6}-x^{4}}}} {x^{4}\,(x^{6}-x^{4})}.

Resposta

\boxed{ f'(x) =\frac{\bigl(4x^{3}+2\sqrt{1-x}-x\,(1-x)^{-\tfrac12}\bigr)\,x^{2}\sqrt{x^{6}-x^{4}} -\bigl(x^{4}+2x\sqrt{1-x}\bigr)\,\dfrac{x^{5}(5x^{2}-4)}{\sqrt{x^{6}-x^{4}}}} {x^{4}\,(x^{6}-x^{4})} }.

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