Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{3}}.
O conteúdo principal aqui é o teste de comparação com séries do tipo p-série. Vamos mostrar que os termos da nossa série são menores que os de uma p-série convergente.

Passo 2

Denotando o termo geral por
a_{n} = \frac{1}{n^{2}+n^{3}},
observamos que, para todo n\ge1,
n^{2}+n^{3} = n^{3}(1 + n^{-1}) \ge n^{3}.
Logo,
a_{n} = \frac{1}{n^{2}+n^{3}} \le \frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
é convergente, pois p=3>1. Pelo teste de comparação direta, como 0 \le a_{n} \le 1/n^{3} e \sum 1/n^{3} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
converge também.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n^{3}} é convergente.

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