Calcule a derivada.
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver, vamos usar a técnica de diferenciação logarítmica, que simplifica esse tipo de problema.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\Bigl[\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)^{x}\Bigr].
Pela propriedade de potências do logaritmo, isso vira
\ln y = x \,\ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, usamos \tfrac{d}{dx}[\ln y]=\tfrac{1}{y}y'. No lado direito, aplicamos a regra do produto:
\frac{1}{y}\,y' = \frac{d}{dx}\bigl[x\,\ln(1 + \tfrac{1}{x})\bigr] = \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) + x \,\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr].

Passo 4

Calculamos \tfrac{d}{dx}[\ln(1 + 1/x)] pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{x}}\;\cdot\;\Bigl(-\tfrac{1}{x^2}\Bigr) = -\frac{1}{x^2\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)} = -\frac{1}{x\,\bigl(x+1\bigr)}.
Substituindo em \tfrac{1}{y}y':
\frac{1}{y}\,y' = \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) + x\Bigl(-\tfrac{1}{x\,(x+1)}\Bigr) = \ln\Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr) - \frac{1}{x+1}.

Passo 5

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e lembrando que y=(1+1/x)^x:
y' = y\;\Bigl[\ln\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr) - \tfrac{1}{x+1}\Bigr] = \Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}\,\Bigl[\ln\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr) - \tfrac{1}{x+1}\Bigr].

Resposta

y' = \Bigl(1 + \tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}\,\Bigl[\ln\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr) - \tfrac{1}{x+1}\Bigr].

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