Determine a derivada.
y=\operatorname{arc} \operatorname{sen} e^{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = \arcsin(e^x). Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de \arcsin(u).

Passo 2

A derivada de \arcsin(u) em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(u)\bigr) =\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 3

Aqui u=e^x, então u'=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x. Substituindo,
y'=\frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}} =\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}.

Passo 4

Como e^x>0, para \arcsin(e^x) faz sentido precisamos de e^x\le1, ou seja x\le0. A derivada fica bem definida em x<0.

Resposta

y' = \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}.

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