Determine a derivada.
f(x)=\operatorname{arc} \operatorname{sen} 3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arcsin\bigl(3x\bigr).
O conteúdo envolvido é a derivada de uma função composta, usando a regra da cadeia, e a derivada da função inversa seno \arcsin.

Passo 2

Lembrando a fórmula da derivada de \arcsin(u) em função de u(x):
\frac{d}{dx}\bigl[\arcsin(u)\bigr] =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^{2}}}.

Passo 3

Identificamos u(x)=3x. Logo,
u'(x)=\frac{d}{dx}[3x]=3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^{2}}} =\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^{2}}} =\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}.

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