Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=(x \cdot \operatorname{cotg} x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(x\cot x\bigr)^{2}
Usaremos a regra da cadeia para a potência e, dentro dela, a regra do produto para derivar x\cot x.

Passo 2

Chame de
u(x) = x\cot x
e de
h(u) = u^{2}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)
e como h'(u)=2u, obtemos
f'(x) = 2\bigl(x\cot x\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x\cot x\bigr).

Passo 3

Para derivar u(x)=x\cot x, aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\cot x) = (x)'\,\cot x + x\,(\cot x)' = 1\cdot\cot x + x\cdot\bigl(-\csc^{2}x\bigr) = \cot x - x\,\csc^{2}x.

Passo 4

Substituindo em f'(x), vem
f'(x) = 2\bigl(x\cot x\bigr)\bigl(\cot x - x\,\csc^{2}x\bigr).
Se preferir, pode distribuir:
f'(x) = 2x\,\cot^{2}x - 2x^{2}\,\cot x\,\csc^{2}x.

Resposta

f'(x) = 2\bigl(x\cot x\bigr)\bigl(\cot x - x\,\csc^{2}x\bigr).

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