Calcule as derivadas:
g(x)=ln (e^x+e^-x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=lnl(e^x+e^-xr)
Aqui vamos usar a regra da cadeia para logaritmo natural e as derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^x+e^-x
Como tfracddxe^x=e^x e tfracddxe^-x=-e^-x, segue
u'(x)=e^x - e^-x

Passo 3

Pela regra da cadeia para logaritmo natural,
ddxlnl(u(x)r)=u'(x)u(x)
Logo, substituindo u e u', temos
g'(x) =e^x - e^-xe^x + e^-x

Passo 4

Reconhecemos que
tanh(x)=e^x - e^-xe^x + e^-x,
portanto a expressão encontrada é exatamente a função hiperbólica tangente.

Resposta

g'(x)=e^x - e^-xe^x + e^-x=tanh(x)

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