Calcule as derivadas:
f(x)=ln (tan x)

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede a derivada de f(x)=ln(tan x). Para isso vamos usar a regra da cadeia (para ln(u)) e a fórmula da derivada de tan x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em ln(u) com u=tan x, temos
f'(x)=u'u=(tan x)'tan x

Passo 3

Sabemos que
(tan x)'=sec^2 x
Logo, substituindo em f'(x), vem
f'(x)=sec^2 xtan x

Passo 4

Para simplificar, escrevemos tudo em termos de seno e cosseno:
sec^2 xtan x =1/cos^2 xsin x/cos x =1sin x,cos x
Portanto
f'(x)=1sin x,cos x=sec x,csc x

Resposta

f'(x)=sec^2 xtan x=1sin x,cos x=sec x,csc x

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