Calcule as derivadas:
f(x)=2 cos (2 x+pi3)-12 sen(x2-pi) f^prime(0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função que combina funções trigonométricas (seno e cosseno) e queremos calcular a derivada dela no ponto x = 0 . Então, o conteúdo da matéria envolve derivadas e, mais especificamente, a derivada de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a função que queremos derivar:
f(x) = 2 cos(2x + pi3) - 12 sin(x2 - pi)
Nossa missão é encontrar a derivada dessa função, f'(x) , e depois avaliar em x = 0 .

Passo 3

Vamos começar derivando cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada do cosseno é o seno, mas com um sinal negativo, e a derivada do seno é o cosseno. Além disso, precisamos aplicar a regra da cadeia porque temos funções compostas.
Para o primeiro termo:
ddx [ 2 cos(2x + pi3) ] = 2 cdot (-sin(2x + pi3)) cdot ddx(2x + pi3) = -4 sin(2x + pi3)
Para o segundo termo:
ddx [ -12 sin(x2 - pi) ] = -12 cdot cos(x2 - pi) cdot ddx(x2 - pi) = -14 cos(x2 - pi)
Então, combinando os dois resultados, a derivada da função é:
f'(x) = -4 sin(2x + pi3) - 14 cos(x2 - pi)

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada, vamos substituir x = 0 para encontrar f'(0) :
f'(0) = -4 sin(2(0) + pi3) - 14 cos(02 - pi)
Simplificando:
f'(0) = -4 sin(pi3) - 14 cos(-pi)
Lembrando que sin(pi3) = raiz32 e cos(-pi) = cos(pi) = -1 :
f'(0) = -4 cdot raiz32 - 14 cdot (-1) = -2raiz3 + 14

Resposta

A derivada de f(x) em x = 0 é:
f^prime(0) = -2raiz3 + 14

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