Calcule as derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função que combina funções trigonométricas (seno e cosseno) e queremos calcular a derivada dela no ponto
. Então, o conteúdo da matéria envolve derivadas e, mais especificamente, a derivada de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a função que queremos derivar:
Nossa missão é encontrar a derivada dessa função,
, e depois avaliar em
.
Passo 3
Vamos começar derivando cada termo separadamente. Lembre-se que a derivada do cosseno é o seno, mas com um sinal negativo, e a derivada do seno é o cosseno. Além disso, precisamos aplicar a regra da cadeia porque temos funções compostas.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, combinando os dois resultados, a derivada da função é:
Passo 4
Agora que temos a expressão da derivada, vamos substituir
para encontrar
:
Simplificando:
Lembrando que
e
:
Resposta
A derivada de
em
é: