Construa o gráfico das funções:
f(x)=-12 sen(x2-pi)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = -tfrac12senl(tfracx2-pir)
O conteúdo aqui é transformar o gráfico de sen(t) aplicando: escala vertical, reflexão, estiramento horizontal (mudança de período) e translação horizontal.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão f(x)=Asen(Bx+C)+D:
f(x)=-tfrac12,senl(tfrac12x-pir),
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– amplitude lvert Arvert = tfrac12,
– coeficiente B=tfrac12 dá período
T = 2pilvert Brvert = 2pitfrac12 = 4pi,
– fase C=-pi produz deslocamento horizontal x0 tal que
tfrac12x0-pi=0implies x0=2pi,
– não há deslocamento vertical ( D=0).

Passo 3

Começamos do gráfico de y=sen(t): zero em t=0, máximo +1 em t=tfracpi2, zero em t=pi, mínimo -1 em t=tfrac3pi2, e volta a zero em t=2pi.

Passo 4

Aplicando as transformações em ordem conveniente:
  1. estira horizontal por fator 1/B=2, trocando período 2pito4pi;
  2. reflete verticalmente (sinal “–”);
  3. comprime verticalmente por 1/2 (amplitude passa a tfrac12);
  4. desloca todo o gráfico 2pi unidades para a direita.

Passo 5

Em cada período de comprimento 4pi (por exemplo de x=2pi a x=6pi) temos:
– em x=2pi: tfrac12x-pi=0implies f=0;
– em x=3pi: tfrac12x-pi=tfracpi2implies sen=!1implies f=-tfrac12 (mínimo);
– em x=4pi: tfrac12x-pi=piimplies f=0;
– em x=5pi: tfrac12x-pi=tfrac3pi2implies sen=-1implies f=+tfrac12 (máximo);
– em x=6pi: tfrac12x-pi=2piimplies f=0.

Resposta

O gráfico é uma senoide de amplitude tfrac12, período 4pi, refletida no eixo x e deslocada 2pi para a direita, com zeros em
x = 2pi + kcdot4pi, kinZ,
mínimos -tfrac12 em x=3pi+4pi k e máximos +tfrac12 em x=5pi+4pi k.

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