Calcule as derivadas:
f(x)=2 cos (2 x+pi3)-12 sen(x2-pi) f^prime prime(pi)

Passo 1

Então, vamos calcular a segunda derivada da função f(x) = 2 cos (2x + pi3) - 12 sin(x2 - pi) no ponto x = pi . Para isso, vamos usar as regras de derivação das funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de f(x) .
Para o primeiro termo:
ddx [ 2 cos (2x + pi3) ] = 2 cdot (-sin(2x + pi3)) cdot 2 = -4 sin(2x + pi3)
Para o segundo termo:
ddx [ -12 sin(x2 - pi) ] = -12 cdot cos(x2 - pi) cdot 12 = -14 cos(x2 - pi)
Então, a primeira derivada fica:
f'(x) = -4 sin(2x + pi3) - 14 cos(x2 - pi)

Passo 3

Agora, vamos tirar a segunda derivada, ou seja, a derivada de f'(x) .
Derivando o primeiro termo da f'(x) :
ddx [ -4 sin(2x + pi3) ] = -4 cdot cos(2x + pi3) cdot 2 = -8 cos(2x + pi3)
Derivando o segundo termo da f'(x) :
ddx [ -14 cos(x2 - pi) ] = -14 cdot (-sin(x2 - pi)) cdot 12 = 18 sin(x2 - pi)
Então, a segunda derivada é:
f''(x) = -8 cos(2x + pi3) + 18 sin(x2 - pi)

Passo 4

Agora, vamos substituir x = pi na segunda derivada para encontrar f''(pi) .
f''(pi) = -8 cos(2pi + pi3) + 18 sin(pi2 - pi)
Simplificando os ângulos:
2pi + pi3 = 7pi3 e pi2 - pi = -pi2
Sabemos que cos(7pi3) = cos(pi3) = 12 e sin(-pi2) = -1 .
Substituindo esses valores:
f''(pi) = -8 cdot 12 + 18 cdot (-1) = -4 - 18 = -338

Resposta

f''(pi) = -338

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