Calcule as derivadas:
f(x)=e^[(x^3-2 x)^4+4 x^2]
f^prime(0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^l[(x^3-2x)^4+4x^2r]
e pede a derivada f'(x) e, em particular, seu valor em x=0. Vamos usar a regra da cadeia, que diz que se f(x)=e^g(x) então
f'(x)=g'(x),e^g(x)

Passo 2

Definimos o interior da exponencial como
g(x)=(x^3-2x)^4+4x^2
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de g'(x). Note que (x^3-2x)^4 é uma composição: a derivada é
ddx,(x^3-2x)^4 =4,(x^3-2x)^3,ddx(x^3-2x) =4,(x^3-2x)^3,(3x^2-2)
E a derivada de 4x^2 é 8x. Portanto,
g'(x)=4,(x^3-2x)^3(3x^2-2)+8x

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=e^g(x), obtemos
f'(x)=g'(x),e^g(x) =l[,4,(x^3-2x)^3(3x^2-2)+8xr];e^(x^3-2x)^4+4x^2

Passo 4

Para achar f'(0), bastam os valores de g'(0) e g(0).
Como x^3-2x em x=0 vale zero, temos
g'(0)=4cdot0^3(3cdot0^2-2)+8cdot0=0, g(0)=0^4+4cdot0^2=0
Logo
f'(0)=g'(0),e^g(0)=0cdot e^0=0

Resposta

f'(x)=l[4,(x^3-2x)^3(3x^2-2)+8xr],e^(x^3-2x)^4+4x^2
f'(0)=0

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