Calcule as derivadas:
f(x)=ln [12 sen(x2-pi)] f^prime prime(pi)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
f(x)=lnl[tfrac12sinl(tfrac x2-pir)r]
e, em particular, o valor de f''(pi).
O conteúdo usado será regra da cadeia, derivada de ln(u) e derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos
u(x)=tfrac12sinl(tfrac x2-pir),
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f(x)=lnl(u(x)r)
Pela regra da derivada do logaritmo,
f'(x)=u'(x)u(x)
Agora calculamos u'(x). Como u(x)=tfrac12sin(theta) com theta=tfrac x2-pi, temos
u'(x)=tfrac12cos(theta),theta' =tfrac12cosl(tfrac x2-pir)cdottfrac12 =14cosl(tfrac x2-pir)

Passo 3

Substituindo em f'(x):
f'(x) =14cosl(tfrac x2-pir)12sinl(tfrac x2-pir) =14cdot2,cosl(tfrac x2-pir)sinl(tfrac x2-pir) =12cotl(tfrac x2-pir)

Passo 4

Para f''(x), derivamos f'(x)=tfrac12cot(theta) com theta=tfrac x2-pi. Sabemos que
ddthetacottheta=-csc^2theta e theta'=tfrac12
Pela regra da cadeia:
f''(x) =tfrac12cdotl(-csc^2(theta)r)cdottfrac12 =-14,csc^2l(tfrac x2-pir)

Passo 5

Finalmente, avaliamos em x=pi:
thetal(pir)=tfracpi2-pi=-tfracpi2, sinl(-tfracpi2r)=-1 ;Longrightarrow; csc^2l(-tfracpi2r)=1
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f''(pi) =-14cdot1 =-14

Resposta

f''(pi)=-14

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