Calcule as seguintes integrais pela regra da integração por partes (lembre-se do LIATE):
integral ln yraizy d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral ln yraizy,dy
usando integração por partes. O conteúdo aqui é exatamente a técnica de partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Para aplicar partes, reconheça que o integrando é o produto
ln y cdot y^-1/2. Segundo o critério LIATE (Logarítmico, Inverse trig, Algebraico, Trigonométrico, Exponencial), escolhemos
u = ln y, dv = y^-1/2,dy

Passo 3

Calculemos então
du = 1y,dy,
e
v = integral y^-1/2,dy = integral y^-tfrac12,dy = 2,y^tfrac12 = 2raizy

Passo 4

Agora substituímos na fórmula de partes:
integral ln yraizy,dy = integral u,dv = u,v - integral v,du = l(ln yr),(2raizy) - integral l(2raizyr),1y,dy

Passo 5

Simplificando o segundo termo:
integral l(2raizyr),1y,dy = 2 integral y^tfrac12-1,dy = 2 integral y^-tfrac12,dy = 2cdotl(2y^tfrac12r) = 4raizy
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integral ln yraizy,dy = 2raizy,ln y - 4raizy + C

Resposta

integral ln yraizy,dy = 2raizy,(ln y - 2) + C

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