Calcule as derivadas partial zpartial u e partial zpartial v.
z=x ln y, x=sin u+cos v, y=sin u-cos v;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v de
z = x ln y,
onde
x = sin u + cos v,
y = sin u - cos v
Como z depende de u,v só através de x e y, vamos usar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, computamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
partial zpartial x = ln y,
partial zpartial y = x cdot 1y = xy

Passo 3

Agora encontramos as derivadas de x e de y em relação a u:
partial xpartial u = ddu(sin u + cos v) = cos u,
partial ypartial u = ddu(sin u - cos v) = cos u

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial u:
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u = (ln y)cos u + xycos u = cos ul(ln y + xyr)

Passo 5

Em seguida, derivamos x e y em relação a v:
partial xpartial v = ddv(sin u + cos v) = -sin v,
partial ypartial v = ddv(sin u - cos v) = sin v

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial v:
partial zpartial v = partial zpartial x,partial xpartial v + partial zpartial y,partial ypartial v = (ln y)(- sin v) + xy,sin v = sin vl(xy - ln yr)

Resposta

partial zpartial u = cos ugl(ln(sin u - cos v) + sin u + cos vsin u - cos vgr),
partial zpartial v = sin vgl(sin u + cos vsin u - cos v - ln(sin u - cos v)gr)

Exercícios relacionados