Calcule as derivadas:
(1,25 \mathrm{pts}) f(x)=x^{3}-\frac{1}{3 x^{5}}+2 \sqrt{x}-\frac{3}{x}

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada de
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3 x^{5}}+2 \sqrt{x}-\frac{3}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita com potências, raízes e potências negativas.
  • Devido a \sqrt{x} e a potências negativas, o domínio natural onde a função e sua derivada são consideradas é x>0.
  • A tarefa é obter f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se u(x)=c\cdot v(x) com c constante, então u'(x)=c\cdot v'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}. Aqui n pode ser inteiro, fracionário (por exemplo 1/2) ou negativo. Nesta fórmula:
    • x é a variável independente;
    • n é o expoente;
    • o resultado multiplica x elevado a n-1.
Essas regras são suficientes porque a função é soma de termos que são constantes multiplicando potências de x.

Passo 3

Primeiro reescrevo cada termo em forma de potência para aplicar a regra da potência de forma direta:
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3}x^{-5}+2x^{1/2}-3x^{-1}.
Explicações rápidas:
  • \dfrac{1}{3x^{5}}=\dfrac{1}{3}x^{-5}.
  • \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • \dfrac{3}{x}=3x^{-1}.

Passo 4

Agora aplico a derivada termo a termo, usando as regras acima.
  1. Para x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
(Aqui usei \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} com n=3.)
  1. Para -\dfrac{1}{3}x^{-5}:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{3}x^{-5}\right)=-\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-5}\bigr)=-\frac{1}{3}\cdot(-5)x^{-6}=\frac{5}{3}x^{-6}.
(Usei a constante -\tfrac{1}{3} fatorando e a regra da potência com n=-5.)
  1. Para 2x^{1/2}:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.
(Como \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.)
  1. Para -3x^{-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{-1}\bigr)=-3\cdot(-1)x^{-2}=3x^{-2}.
(Usei n=-1 na regra da potência.)

Passo 5

Somando todas as contribuições obtemos a derivada completa:
f'(x)=3x^{2}+\frac{5}{3}x^{-6}+x^{-1/2}+3x^{-2}.
Para ficar numa forma mais familiar (raízes e frações), reescrevo:
f'(x)=3x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x^{2}}+\frac{5}{3x^{6}},\qquad x>0.
Dica de prova: na prova, faça exatamente isso — escreva potências fracionárias/negativas, aplique \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} termo a termo, e por último volte para radicais/frações se quiser.

Resposta

f'(x)=3x^{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{5}{3x^{6}}

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