Calcule as derivadas:
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada de
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita com potências, raízes e potências negativas.
- Devido a
e a potências negativas, o domínio natural onde a função e sua derivada são consideradas é . - A tarefa é obter
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
então . - Regra do fator constante: se
com constante, então . - Regra da potência (power rule): para qualquer número real
, . Aqui pode ser inteiro, fracionário (por exemplo ) ou negativo. Nesta fórmula: -
é a variável independente; -
é o expoente; - o resultado multiplica
elevado a .
-
Essas regras são suficientes porque a função é soma de termos que são constantes multiplicando potências de
.
Passo 3
Primeiro reescrevo cada termo em forma de potência para aplicar a regra da potência de forma direta:
Explicações rápidas:
-
. -
. -
.
Passo 4
Agora aplico a derivada termo a termo, usando as regras acima.
- Para
:
(Aqui usei
com
.)
- Para
:
(Usei a constante
fatorando e a regra da potência com
.)
- Para
:
(Como
.)
- Para
:
(Usei
na regra da potência.)
Passo 5
Somando todas as contribuições obtemos a derivada completa:
Para ficar numa forma mais familiar (raízes e frações), reescrevo:
Dica de prova: na prova, faça exatamente isso — escreva potências fracionárias/negativas, aplique
termo a termo, e por último volte para radicais/frações se quiser.